[論文レビュー] The Kruskal-Katona Theorem for Graphs

Robert Cowen|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、与えられた Kr の部分グラフ数が固定されている場合に、Ks の部分グラフ数に対する上界がタイトになる新たな条件を同定することで、グラフにおけるクラスカル＝カトーナの定理を拡張する。完全グラフに頂点や辺を追加・削除する構成を導入し、Kr の数の r-正規表現が特定の二項係数条件を満たす場合に上界が達成されることを証明する。また、r=3、s=4 の場合に、T(n, n−2) であるトーラングラフが、K4 の部分グラフに対して、上界から1つだけ小さいが、最もタイトな結果を達成するとする予想を提示する。

ABSTRACT

In graph theory, knowing the number of complete subgraphs with r vertices that a graph g has, limits the number of its complete subgraphs with s vertices, for s > r. A useful upper bound is provided by the Kruskal-Katona theorem, but this bound is often not tight. In this note, we add to the known cases where this bound is tight and also investigate cases where it is not. Finally we look at a useful technique for actually finding the numbers of complete subgraphs of a graph.

研究の動機と目的

• 固定された Kr の部分グラフ数に対して、Ks の部分グラフ数に対するクラスカル＝カトーナの上界がタイトになる条件を特定すること。
• クラスカル＝カトーナの上界が二項係数の二項展開に限らず、三項展開を持つ r-正規表現に対しても同様にタイトであることを示す。
• 完全グラフから辺を削除して得られるグラフ、特にトーラングラフ T(n, n−2) において、クラスカル＝カトーナの上界のタイトさを調査すること。
• 特定の条件下でクラスカル＝カトーナの上界を達成するグラフを構成的に構築する手法を提供すること。
• Ks の部分グラフ数の計算効率を向上させるために、(s−1)-コアの剪定技術を用いることの有効性を検討すること。

提案手法

• 整数 x の r-正規表現を用いて、Kr の部分グラフ数を、下付き添えが減少する二項係数の和として表現する。
• x の r-正規表現において r を s に置き換えることにより、クラスカル＝カトーナの上界 [x]_r^s を適用する。
• Kn の m 個の頂点および w 個の頂点に接続する外部頂点を追加することでグラフを構成し、Kr の数が x に一致し、Ks の数が [x]_r^s に一致するようにする。
• 構成されたグラフが上界に達することを示し、それ以上の Ks 数が得られないことから、タイトさを証明する。
• Kn から非隣接な2本の辺を削除して得られるトーラングラフ T(n, n−2) を分析し、K3 および K4 の部分グラフ数を正確に計算する。
• Ks のすべての部分グラフを保持しつつ、(s−1)-コアの剪定によりグラフサイズを削減することで、部分グラフ数の計算をより効率的に行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kr の部分グラフ数が x に固定されている場合に、Ks の部分グラフ数に対するクラスカル＝カトーナの上界がタイトになる条件は何か？
• RQ2 二項展開の二項係数に限らない、三項展開を持つ r-正規表現に対しても、ボロバスのタイトさに関する結果を拡張できるか？
• RQ3 Kr の部分グラフ数が x = (n choose 3) − 2(n−2) に等しいとき、T(n, n−2) における K4 の部分グラフ数に対するクラスカル＝カトーナの上界はタイトか？
• RQ4 x = (n choose 3) − 2(n−2) のとき、k4(k3 ≤ x) の正確な値は何か？ また、クラスカル＝カトーナの上界からどれほど離れているか？
• RQ5 (s−1)-コアの剪定技術は、大規模なグラフにおける Ks の部分グラフ数の計算効率をどの程度向上させるか？

主な発見

• r-正規表現が三項で構成され、(t choose r−2) = (w choose r−1) かつ s−2 > t および s−1 > w を満たす場合、クラスカル＝カトーナの上界はタイトである。
• x = (n choose r) + (m choose r−1) + (t choose r−2) で、(t choose r−2) = (w choose r−1) かつ s−2 > t、s−1 > w が成り立つ場合、ks(kr ≤ x) = (n choose s) + (m choose s−1) となり、上界が達成される。
• トーラングラフ T(n, n−2) において、x = (n choose 3) − 2(n−2) のとき、K4 の部分グラフ数はクラスカル＝カトーナの上界からちょうど1つだけ小さい。これは、上界が非常にタイトである可能性を示唆する。
• T(n, n−2) における K5 の部分グラフ数は、クラスカル＝カトーナの上界から (n−5) だけ小さい。これは、より高い s に対して一貫したギャップが存在することを示している。
• (s−1)-コアの剪定法は、すべての Ks の部分グラフを保持しつつ、グラフサイズを線形に削減でき、部分グラフ数の計算をより効率的に行うことができる。
• 本稿では、n > 6 のとき、x = (n choose 3) − 2(n−2) に対して k4(k3 ≤ x) = [x]_3^4 − 1 であると予想しており、この場合、上界は1つだけずれているにすぎない。