[論文レビュー] The l-adic support problem for abelian varieties

Antonella Perucca|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、数体 K 上のアーベル多様体とトーラスの直積である群 G において、ほとんどすべての素数 p に対して、K-有理点 Q の G における mod p の位数が、別の K-有理点 P の G における mod p の位数の約数であるならば、Q は G 上の K-自己準同型による P の像の有理数倍であることを確立する。この結果は、位数の比較を radical や l-進付値への一般化する弱い条件に対しても拡張可能であり、数体上の算術的力学における強い有限性および有理数性条件を示している。

ABSTRACT

Let G be the product of an abelian variety and a torus defined over a number field K. Let P and Q be K-rational points on G. Suppose that for all but finitely many primes p of K the order of (Q mod p) divides the order of (P mod p). Then there exist a K-endomorphism f of G and a non-zero integer c such that f(P)=cQ. Furthermore, we are able to prove the above result with weaker assumptions: instead of comparing the order of the points we only compare the radical of the order (radical support problem) or the l-adic valuation of the order for some fixed rational prime l (l-adic support problem).

研究の動機と目的

• 数体上のアーベル多様体およびトーラスに対するサポート問題を確立し、素数を法とする点の位数に関する古典的結果を一般化すること。
• 点の位数を完全に比較するという仮定を、位数の radical や l-進付値への比較という弱い条件に緩和すること。
• このような緩和された仮定のもとで、依然として点 P と Q を有理数自己準同型およびスカラー倍で関係づけることができることを証明すること。
• 古典的サポート問題を l-進設定に拡張し、数体上の算術幾何における点の関係のより強い算術的特徴付けを提供すること。

提案手法

• G の点の素数を法とする構造を分析するために l-進ガロア表現を用いる。
• G の l-進 Tate モジュールにおける位数の可除性を研究することで、問題を還元する。
• ほとんどすべての素数における局所的可除性条件から大域的関係を導くために、Chebotarev の密度定理を適用する。
• 数体上の自己準同型環の技術を用いて、必要な K-自己準同型 f を構成する。
• 位数の radical の比較により、問題をより弱いが十分な条件に還元する。
• 数体上のアーベル多様体およびトーラスの構造論を用いて、点の還元における挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほとんどすべての素数 p に対して、Q mod p の位数が P mod p の位数を割り切るとき、G 内で P と Q の間に大域的な代数的関係が成立する条件は何か？
• RQ2 古典的サポート問題は、l-進付値の比較のみを行う l-進設定へ拡張可能か？
• RQ3 ほとんどすべての p に対して、Q mod p の位数の radical が P mod p の位数の radical を割り切るとき、P と Q の間に有理数自己準同型関係が成立するか？
• RQ4 点の還元に関する最小限の算術的条件は何か？ しかし、それでも G 内で大域的自己準同型関係を強制するか？
• RQ5 全位数の比較から、radical や位数の l-進付値といったより弱い不変量へ一般化可能か？

主な発見

• すべての有限個の素数を除くすべての素数 p に対して、Q mod p の位数が P mod p の位数を割り切るならば、G の K-自己準同型 f と非ゼロ整数 c が存在し、f(P) = cQ が成り立つ。
• この結果は、ほとんどすべての p に対して Q mod p の位数の radical が P mod p の位数の radical を割り切るというより弱い仮定のもとでも成立する。
• 固定された有理素数 l に対して、すべての p に対して Q mod p の位数の l-進付値が P mod p の位数の l-進付値を割り切るという条件でも、同じ結論が成り立つ。
• l-進情報のみを用いても、このような f と c の存在が保証されるため、l-進手法のこの文脈における強さが示される。
• この結果は、数体上の算術幾何における局所的可除性条件が大域的代数的関係を意味するための完全な特徴付けを提供する。
• 証明は、ガロア表現や自己準同型環の構造論の深い道具に依拠しており、このような有理数関係が存在するための必要十分条件であることが示されている。