[論文レビュー] The $L^p$ boundedness of the Bergman projection for a class of bounded Hartogs domains

Liwei Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^n$ 内の一般化された有界ハートォグス領域のクラスに対して、ベルグマン射影の $L^p$ 有界性の鋭い範囲を確立している。この射影は、$p \in \left(\frac{2n}{n+1}, \frac{2n}{n-1}\right)$ であるときかつそのときに限り $L^p$ で有界であり、領域を定義する具体的なバイホロモルフィック写像に依存しない。この結果は古典的なハートォグス三角形の場合を拡張し、バイホロモルフィック不変性とスケーリングの議論に依拠している。

ABSTRACT

We generalize the Hartogs triangle to a class of bounded Hartogs domains, and we prove that the corresponding Bergman projections are bounded on $L^p$ if and only if $p$ is in the range $(\frac{2n}{n+1},\frac{2n}{n-1})$.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^n$ 内の有界ハートォグス領域の広いクラスを、バイホロモルフィック写像によって定義された複素構造に基づいて、古典的なハートォグス三角形を一般化すること。
• これらの一般化された領域に対して、ベルグマン射影が $L^p$ で有界となる $p$ の正確な範囲を特定すること。
• この有界性範囲が、複素次元 $n$ のみに依存し、領域を定義する具体的なバイホロモルフィックデータ $\{k_j, \phi_j\}$ には依存しないことを示すこと。

提案手法

• 各 $j$ に対して $\phi_j(\tilde{z}_j)$ のノルムと $|z_{k+1}|, \dots, |z_n|$ のノルムを含むネストされた不等式によって、有界ハートォグス領域 $\mathbb{H}^n_{\{k_j,\phi_j\}}$ のクラスを定義する。
• 領域 $\mathbb{H}^n_{\{k_j,\phi_j\}}$ から標準的モデル $\mathbb{H}^n_{\{k_j\}}$ へのバイホロモルフィック写像 $\Phi$ を構成し、ヤコビアンの歪みを除いてベルグマン射影構造を保存する。
• 写像 $\Phi$ 及びその逆写像のヤコビアン行列式の有界性を用いて、一般化された領域上の $L^p$ ノルムと標準的モデル上のそれらを関連付ける。
• 標準的モデル $\mathbb{H}^n_k$ に対して既知の $L^p$ 有界性結果を適用し、一般化された領域に対する有界性範囲を導出する。
• ベルグマン射影の双対性と自己随伴性を活用して、$p \in \left(\frac{2n}{n+1}, \frac{2n}{n-1}\right)$ の有界性範囲を、全区間への拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された有界ハートォグス領域のクラスに対して、ベルグマン射影が $L^p$ で有界となる $p$ の正確な範囲は何か？
• RQ2 $L^p$ 有界性範囲は、領域を定義する具体的なバイホロモルフィック写像 $\phi_j$ に依存するか？
• RQ3 一般化されたハートォグス領域におけるベルグマン射影の $L^p$ 有界性は、バイホロモルフィック同値性により、標準的モデル領域におけるそれへ還元可能か？
• RQ4 $p \in [1, \infty)$ に対して、有界性範囲は鋭いか、$p < 2$ の場合も含めてそうか？
• RQ5 特異領域（例：ハートォグス三角形）と滑らかな領域との間で、ベルグマン射影の $L^p$ 振る舞いにはどのような相違があるか？

主な発見

• 一般化されたハートォグス領域 $\mathbb{H}^n_{\{k_j,\phi_j\}}$ におけるベルグマン射影は、$p \in \left(\frac{2n}{n+1}, \frac{2n}{n-1}\right)$ であるときかつそのときに限り $L^p$ で有界である。
• 有界性範囲は、$\{k_j, \phi_j\}$ の具体的な選択に依存せず、複素次元 $n$ のみに依存する。これは非線形または線形なバイホロモルフィズムを含む。
• 標準的モデル $\mathbb{H}^n_k = \{ z \in \mathbb{C}^n : |(z_1,\dots,z_k)| < |z_{k+1}| < \cdots < |z_n| < 1 \}$ も同様の $L^p$ 有界性範囲を示す。
• $p \leq \frac{2n}{n+1}$ の場合、$0 < p < 1$ でさえも、スケーリングとテスト関数の構成によりベルグマン射影が非有界であることが示された。
• バイホロモルフィック不変性により、$L^p$ 有界性の性質は、制御されたヤコビアン歪みを伴って標準的モデルから一般化された領域へと移行可能である。
• 範囲 $\left(\frac{2n}{n+1}, \frac{2n}{n-1}\right)$ は $p \in [1, \infty)$ に対して鋭く、ベルグマン射影の双対性により、自己随伴性のおかげで全区間で有界性が保証される。