[論文レビュー] The $L^p$ boundedness of wave operators for Schrödinger operators with threshold singularities II. Even dimensional case

Domenico Finco, Kenji Yajima|ArXiv.org|May 10, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、偶数次元 $m \geq 6$ において、$H = -\Delta + V$ のシュレーディンガー作用素に対する波作用素 $W_{\pm}$ の $L^p$ 有界性を、ポテンシャル $V$ の条件およびスペクトル型（一般的または特異的）の下で確立する。一般的条件下では $1 \leq p \leq \infty$ に対して $W_{\pm}$ が $L^p$ およびソボレフ空間 $W^{k,p}$ で有界であることを証明し、特異的条件下では $m/(m-2) < p < m/2$ の制限された範囲で同様の有界性を示す。この結果を得るため、リゾルベント推定と振動積分への部分積分を用いる。

ABSTRACT

In this paper we consider the wave operators $W_{\pm}$ for a Schrödinger operator $H$ in ${\bf{R}}^n$ with $n\geq 4$ even and we discuss the $L^p$ boundedness of $W_{\pm}$ assuming a suitable decay at infinity of the potential $V$. The analysis heavily depends on the singularities of the resolvent for small energy, that is if 0-energy eigenstates exist. If such eigenstates do not exist $W_{\pm}: L^p o L^p$ are bounded for $1 \leq p \leq \infty$ otherwise this is true for $ \frac{n}{n-2} &lt; p &lt; \frac{n}{2} $. The extension to Sobolev space is discussed.

研究の動機と目的

• 偶数次元空間におけるシュレーディンガー作用素の波作用素 $W_{\pm}$ の $L^p$ 有界性を、閾値特異性を有する状況で確立すること。
• シュレーディンガー作用素が一般的型または特異的型であるかに応じて、$W_{\pm}$ が $L^p$ およびソボレフ空間 $W^{k,p}$ で有界となる $p$ の範囲を特定すること。
• 既存の $L^p$ 有界性に関する結果を、$m \geq 6$ の偶数次元に拡張し、特にポテンシャル $V$ のより弱い減衰および正則性仮定の下で成立することを示すこと。
• 分散推定および時間減衰と関連して、スペクトル型（一般的対特異的）が $W_{\pm}$ の有界性範囲に与える影響を分析すること。

提案手法

• 自由リゾルベント $R_0(\lambda)$ の有界性性質を波作用素 $W_{\pm}$ に移すために、$f(H)P_{\rm ac} = W_{\pm} f(H_0) W_{\pm}^*$ という相互作用性質を用いる。
• $L^p$ およびソボレフ空間におけるリゾルベント推定を用い、$\lambda$ が大きな負の値であるとき、$R(\lambda)^n \in \mathcal{B}(L^p, W^{2n,p})$ および $R(\lambda)^{n+1/2} \in \mathcal{B}(L^p, W^{2n+1,p})$ を証明する。
• 振動積分に於いて、$s \leq (m+2)/2$ 回部分積分を適用し、$|\partial_\lambda^s T_\pm(\lambda,x,y)| \leq C_{ns} \lambda^{-3} \langle x\rangle^{-(m-1)/2} \langle y\rangle^{-(m-1)/2}$ のような減衰推定を用いる。
• 結果として得られる積分核 $\tilde{\Omega}_{n+1}(x,y)$ の適切性（admissibility）を、$\langle |x| \pm |y| \rangle^{-(m+2)/2}$ の点ごとの減衰推定によって確立する。
• $n$ に関する帰納法を用い、リゾルベント方程式 $R(\lambda) = R_0(\lambda) - R_0(\lambda) V R(\lambda)$ に依存して、$R(\lambda)^n$ が $L^p$ から $W^{2n,p}$ および $W^{1,p}$ から $W^{2n+1,p}$ への有界作用素であることを証明する。
• 波作用素 $W_{\pm}$ が相互作用恒等式によりリゾルベントと可換であることに着目し、リゾルベントのべきの有界性からソボレフ空間上での有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元 $m \geq 6$ において、$H$ が一般的型であるとき、波作用素 $W_{\pm}$ が $L^p(\mathbb{R}^m)$ で有界となる $p$ の範囲は何か？
• RQ2 $W_{\pm}$ が $W^{k,p}$ 空間で有界であることは、ポテンシャル $V$ の正則性および減衰にどのように依存するか？
• RQ3 分散推定の文脈において、スペクトル型（一般的対特異的）が $W_{\pm}$ の $L^p$ 有界性に与える役割は何か？
• RQ4 $V$ に対して最小限の正則性仮定を課した場合でも、$W_{\pm}$ の $L^p$ 有界性がソボレフ空間 $W^{k,p}$ に拡張可能か？
• RQ5 $V$ の減衰および正則性は、特に $H$ がゼロエネルギー共鳴を有する特異的型である場合に、$W_{\pm}$ の $L^p$ 演算子ノルムにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 偶数次元 $m \geq 6$ において、$|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+2+\varepsilon)}$、$\mathcal{F}(\langle x\rangle^{2\sigma}V) \in L^{m_*}$（$\sigma > (m-2)/(m-1)$）を満たし、$H$ が一般的型であるとき、$W_{\pm}$ はすべての $1 \leq p \leq \infty$ に対して $L^p(\mathbb{R}^m)$ で有界である。
• $1 < p < \infty$ に対して、$\partial^\alpha V$ が $|\alpha| \leq \ell$ で有界であるならば、$W_{\pm}$ は $W^{k,p}(\mathbb{R}^m)$ で $0 \leq k \leq \ell + 2$ に対して有界である。
• $m \geq 6$ が偶数であり、$H$ が特異的型である場合、$|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+4+\varepsilon)}$（$m=6$ のとき）および $|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+3+\varepsilon)}$（$m \geq 8$ のとき）を満たすならば、$W_{\pm}$ は $m/(m-2) < p < m/2$ および $0 \leq k \leq \ell + 2$ に対して $W^{k,p}(\mathbb{R}^m)$ で有界である。
• $W_{\pm}$ が $W^{k,p}$ 空間で有界であることは、リゾルベント方程式と $R(\lambda)^n$ の $L^p$ およびソボレフノルムに関する推定に依拠した $n$ に関する帰納法によって確立される。
• この証明は、$V$ の正則性および減衰条件の下で、$R(\lambda)^n \in \mathcal{B}(L^p, W^{2n,p})$ であることを示す $L^p$ 推定に依存している。
• 本結果は、[22] の $m \geq 6$ に対する以前の結果を改善しており、条件 (1.2) および $|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+2+\varepsilon)}$ が、[22] で用いられた積分条件 (1.5) よりも弱いものである。