[論文レビュー] The $L^p$ Carleman estimate and a partial data inverse problem

Francis J. Chung, Leo Tzou|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界領域における共役ラプラシアンの明示的グリーン関数を構築し、$L^p$ キャルマン推定を可能にするとともに、$L^{n/2}$ ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式の部分データ逆問題を解ける。この手法は、熱流を用いて境界の半分に台を持つディリクレ・グリーン関数を構築し、$L^p$ および $H^1$ の鋭い境界を得るとともに、カルデロン問題における一意性を証明する。

ABSTRACT

We construct an explicit Green's function for the conjugated Laplacian $e^{-ω\cdot x/h}Δe^{-ω\cdot x/h}$, which let us control our solutions on roughly half of the boundary. We apply the Green's function to solve a partial data inverse problem for the Schrödinger equation with potential $q \in L^{n/2}$. We also use this Green's function to derive $L^p$ Carleman estimates similar to the ones in Kenig-Ruiz-Sogge \cite{krs}, but for functions with support up to part of the boundary.

研究の動機と目的

• 有界領域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$（$n\geq 3$）における共役ラプラシアン $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}$ に対する明示的ディリクレ・グリーン関数を構築すること。
• $L^p$ キャルマン推定を、境界条件が非自明（特に $\Gamma\subset\partial\Omega$ で消える）な関数に対して導出すること。
• 構築されたグリーン関数を用いて、$L^{n/2}(\Omega)$ に属する非有界ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式の部分データ逆問題を解くこと。
• $h>0$ の小さなパラメータに依存する、グリーン関数の $L^p$ および半古典的ソボレフ空間における鋭い作用素ノルム境界を確立すること。

提案手法

• 熱流を用いたグリーン関数 $G_\Gamma$ の明示的構成により、$L^{p'}(\Omega)$ 上で $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}G_\Gamma = I$ が成り立つように保証すること。
• 半古典的擬微分作用素の計算を用いて $G_\Gamma$ の作用素ノルムを分析し、$\|G_\Gamma\|_{L^2\to H^1}\leq Ch^{-1}$ および $\|G_\Gamma\|_{L^{p'}\to L^p}\leq Ch^{-2}$ の境界を得ること。
• グリーン関数を用いて、$\Gamma^c\subset\partial\Omega$ で消え、かつ $\partial_\nu u|_{\Gamma^c}=0$ を満たす関数 $u$ に対する $L^p$ および $L^2$ キャルマン推定を導出すること。
• 非有界ポテンシャル $L^{n/2}(\Omega)$ を取り扱うために、方法を適応し、強い一意的連続性の原理とディリクレ問題の適切な定式化を活用すること。
• 混合ソボレフノルムにおける擬微分作用素の合成境界を用いて、パラメトリックス構成における剰余項を制御すること。
• 左辺に $h^{-1/p}\|\partial_\nu u\|_{L^{p'}(\Gamma)}$ を含む修正を施すことにより、$L^p$ 推定における境界項を統合すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の部分集合にディリクレ条件を課す共役ラプラシアンに対して、明示的グリーン関数を構築できるか？
• RQ2 境界条件が非自明（特に境界の一部のみ観測される場合）な関数に対して、$L^p$ キャルマン推定を導出できるか？
• RQ3 構築されたグリーン関数により、$L^{n/2}$ ポテンシャルを持つ部分データカルデロン問題を解けるか？
• RQ4 $L^p$ および半古典的ソボレフ空間におけるグリーン関数の鋭い作用素ノルム境界は何か？
• RQ5 この方法を $L^p$ キャルマン推定における境界項を含む形に拡張できるか？

主な発見

• グリーン関数 $G_\Gamma$ は $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}G_\Gamma = I$ を満たし、$L^{p'}(\Omega)$ から $L^p(\Omega)$ への作用素ノルムが $\|G_\Gamma\|_{L^{p'}\to L^p}\leq Ch^{-2}$ である。
• グリーン関数は $\|G_\Gamma\|_{L^2\to H^1}\leq Ch^{-1}$ を満たし、半古典的ソボレフ空間における制御を可能にする。
• $\partial\Omega$ で消え、かつ $\partial_\nu u|_{\Gamma^c}=0$ を満たす $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対して、十分に小さい $h>0$ に対して $\|u\|_{L^p(\Omega)}\leq C\|\Delta_\phi^*u\|_{L^{p'}(\Omega)}$ が成り立つ。
• $L^2$ キャルマン推定が確立された：$\|u\|_{L^2(\Omega)}\leq \frac{C}{h}\|h^2\Delta_\phi^*u\|_{H^{-1}_\Gamma(\Omega)}$。
• シュレーディンガー方程式の部分データ逆問題が解かれた：$\Lambda_{q_1}f|\mathbf{F} = \Lambda_{q_2}f|\mathbf{F}$ がすべての $f\in C_0^\infty(\mathbf{B})$ に対して成り立つならば、$q_j\in L^{n/2}(\Omega)$ に対して $q_1 = q_2$ である。
• この方法により、境界項を含む $L^p$ 推定が可能であり、$q\in L^{n/2}$ という正則性仮定は、適切な定式化と一意的連続性に対して最適である。