[論文レビュー] The $L^p$ Dirichlet boundary problem for second order Elliptic Systems with rough coefficients

Martin Dindoš, Marius Mitrea+1 more|Edinburgh Research Explorer|Aug 3, 2017

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ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上のリプシッツグラフの上に存在する領域において、粗い係数をもつ第二順位の強楕円型系の $L^p$ ディリクレ境界値問題の可解性を、$p$ が 2 の近くで示している。著者は、係数にカルレソン条件を課したもとで、正方形関数および非接線的極大関数の推定を用いた新規なアプローチを導入し、可解性を $p \in (2 - \varepsilon, 2(n-1)/(n-2) + \varepsilon)$ まで拡張した。また、この結果を、ポisson比 $\nu < 0.396$ を満たす等方的不均一材料のラメ系に適用した。主な貢献は、一般の系では最大原理や De Giorgi-Nash-Moser 理論が成立しないため、代わりに $L^p$-推定を用いることで、その欠如を克服したことにある。

ABSTRACT

Given a domain above a Lipschitz graph, we establish solvability results for strongly elliptic second-order systems in divergence-form, allowed to have lower-order (drift) terms, with $L^p$-boundary data for $p$ near $2$ (more precisely, in an interval of the form $\big(2-\varepsilon,\frac{2(n-1)}{n-2}+\varepsilon\big)$ for some small $\varepsilon&gt;0$). The main novel aspect of our result is that the coefficients of the operator do not have to be constant, or have very high regularity, instead they will satisfy a natural Carleson condition that has appeared first in the scalar case. A significant example of a system to which our result may be applied is the Lamé system for isotropic inhomogeneous materials. We show that our result applies to isotropic materials with Poisson ratio $ν&lt;0.396$. Dealing with genuine systems gives rise to substantial new challenges, absent in the scalar case. Among other things, there is no maximum principle for general elliptic systems, and the De Giorgi - Nash - Moser theory may also not apply. We are, nonetheless, successful in establishing estimates for the square-function and the nontangential maximal operator for the solutions of the elliptic system described earlier, and use these as alternative tools for proving $L^p$ solvability results for $p$ near $2$.

研究の動機と目的

• 一般楕円型系では最大原理や De Giorgi-Nash-Moser 理論が成立しないため、標準的な $L^p$ 補間法が使えないという問題に対処する。
• リーマン多様体上のリプシッツ領域において、粗い係数をもつ第二順位楕円型系の $L^p$ 可解性を、$p \in (2 - \varepsilon, 2(n-1)/(n-2) + \varepsilon)$ の範囲で確立する。
• スカラー系に既に用いられていたカルレソン条件を、系へと拡張し、低正則性係数を許容する。
• 最大原理が存在しないため $L^\infty$-端点推定を必要としない、$L^p$ 可解性のためのフレームワークを提供する。
• 結果を、ポisson比が $\nu < 0.396$ を満たす等方的不均一材料のラメ系に適用する。

提案手法

• 最大原理の欠如に対処するため、$L^2$ 平均に基づく弱化された非接線的極大関数を導入する。
• 点推定の代わりに、正方形関数推定と非接線的極大関数の制御を主たる道具として用いる。
• 係数の変動にカルレソン条件を適用し、境界付近での振動の $L^p$-ノルムが小さいことを保証する。
• 自由パrameter $r(x)$ を用いて、系を $A^{\alpha\beta}_{0j} = \delta^{\alpha\beta}\delta_{0j}$ の形に標準化し、構造的解析を可能にする。
• $L^2$ 可解性から $p$ が 2 の近くでの $L^p$ への外挿技術を用い、正則性問題を解く必要を回避する。
• 行列の正定性解析とブロック構造係数行列の固有値推定を用いて、強楕円型を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二順位楕円型系の粗い係数をもつ $L^p$ ディリクレ問題は、リーマン多様体上のリプシッツ領域でどの $p$ の範囲で可解か？
• RQ2 最大原理や De Giorgi-Nash-Moser 理論が系に適用できない場合、$p$ が 2 の近くでの $L^p$ 可解性はどのように確立できるか？
• RQ3 スカラー系に既に用いられていたカルレソン条件を、系へと拡張できるか？
• RQ4 ラメ系にどのような構造的条件を課すと、強楕円型および $p$ が 2 の近くでの $L^p$ 可解性が保証されるか？
• RQ5 補助関数 $r(x)$ の選択は、系の楕円型および可解性にどのように影響するか？

主な発見

• カルレソン条件を係数に課したもとで、強楕円型系の $L^p$ ディリクレ問題は $p \in (2 - \varepsilon, 2(n-1)/(n-2) + \varepsilon)$ で可解である。
• 最大原理が存在しない状況において、正方形関数および非接線的極大関数推定が主要な道具であることが示された。
• $(\sqrt{8} - 1)\mu(x) + \lambda(x)$ および $(\sqrt{8} + 1)\mu(x) - \lambda(x)$ の本質的下限が正であるとき、ラメ系の強楕円型が確認される。
• ポisson比 $\nu < 0.396$ を満たす等方的不均一材料に本手法を適用でき、既知の結果を粗い係数へと拡張した。
• $L^2$ 可解性から $p$ が 2 の近くでの $L^p$ への外挿は、正則性問題を解かずに、非接線的極大関数の $L^p$-推定を用いて達成された。
• 係数再形式化における補助関数 $r(x)$ の最適選択により、強楕円型が保証され、カルレソン条件を満たすことが可能になった。