[論文レビュー] The L^p-to-L^q boundedness of commutators with applications to the Jacobian operator

Tuomas Hytönen|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 28被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、点乗乗算とCalderón–Zygmund作用素の交換子 $[b,T]$ について、$L^p$-to-$L^q$ 有界性の特徴付けを完成させ、$T$ に対して最小限の非退化性仮定のもとで、すべての $1 < p,q < ∞$ に対して鋭い必要十分条件を確立した。主な結果は、$T$ が非ゼロの同次特異積分作用素であるとき、$[b,T]$ の $L^p$-有界性のためには $b \in \mathrm{BMO}$ が必須であることを確認し、Lerner, Ombrosi, および Rivera-Ríos が提起した最近の問題を解決した。

ABSTRACT

Supplying the missing necessary conditions, we complete the characterisation of the $L^p o L^q$ boundedness of commutators $[b,T]$ of pointwise multiplication and Calderón-Zygmund operators, for arbitrary pairs of $1q$, our results are new even for special classical operators with smooth kernels. As an application, we show that every $f\in L^p(R^d)$ can be represented as a convergent series of normalised Jacobians $Ju=\det abla u$ of $u\in \dot W^{1,dp}(R^d)^d$. This extends, from $p=1$ to $p&gt;1$, a result of Coifman, Lions, Meyer and Semmes about $J:\dot W^{1,d}(R^d)^d o H^1(R^d)$, and supports a conjecture of Iwaniec about the solvability of the equation $Ju=f\in L^p(R^d)$.

研究の動機と目的

• 点乗乗算とCalderón–Zygmund作用素の交換子 $[b,T]$ について、すべての $1 < p,q < \infty$ に対して $L^p$-to-$L^q$ 有界性の特徴付けを完成させること。
• 有界性の鋭い必要条件を確立し、特に非ゼロの同次特異積分作用素に対して $b \in \mathrm{BMO}$ が必須であることを解消すること。
• 理論を反復交換子および $A_p$ 重み付き $L^p$ 空間に拡張すること。
• 有界性の結果をヤコビアン行列式作用素に応用し、任意の $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$ が、$u \in \dot{W}^{1,dp}(\mathbb{R}^d)^d$ に対して $Ju = \det \nabla u$ となる正規化ヤコビアンの収束級数として表現可能であることを示すこと。

提案手法

• 交換子 $T_b^k$ の弱型テスト条件 (4.7) を用いて、重み $\nu^{1/k}$ に関する $b$ の BMO 型ノルム推定を得る。
• 重み $\mu$, $\lambda$ が $A_p$ 重みであるとき、重み $\nu = (\mu/\lambda)^{1/p}$ と関連付けるためのキーレムマ (補題 4.3.3) を適用し、測度積の制御を $\langle \nu^{1/k} \rangle_B^k$ を用いて行う。
• 互いに等しい半径で、正の距離を保ちながら分離された球 $B$, $\tilde{B}$ における微小分解とテストを用いて、交換子作用の局所化を図る。
• 核 $K$ に対して最小限の非退化性仮定のもとで、古典的な Coifman–Rochberg–Weiss の議論を $\mathrm{BMO}$ 必要性のためのものに適応・拡張する。
• 有界性理論をヤコビアン作用素に適用する際、交換子構造を用いて $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$ の正規化ヤコビアン $Ju$ の級数表現を構成する。
• $L^p$ と $L^{p'}$ の双対性および交換子の有界性を用いて、$L^p$ 内での収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $1 < p,q < \infty$ および非退化性を満たす Calderón–Zygmund 作用素 $T$ に対して、$L^p(\mathbb{R}^d) \to L^q(\mathbb{R}^d)$ 有界性のための必要十分条件は何か？
• RQ2 $T$ が非ゼロの同次特異積分作用素であるとき、$[b,T]$ の $L^p$-有界性のためには $b \in \mathrm{BMO}(\mathbb{R}^d)$ が必須であるか？
• RQ3 反復交換子 $T_b^k$ の有界性特性は、$A_p$ 重み付き $L^p$ 空間にどのように拡張されるか？
• RQ4 任意の $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$ は、$u \in \dot{W}^{1,dp}(\mathbb{R}^d)^d$ に対して $Ju = \det \nabla u$ となる正規化ヤコビアンの収束級数として表現可能か？
• RQ5 $L^p$-有界性 $[b,T]$ が、核 $K$ に対して最小限の非退化性仮定のもとでも、$b$ に対する鋭い BMO 条件を示唆するか？

主な発見

• 交換子 $[b,T]$ の $L^p$-to-$L^q$ 有界性が成り立つための必要十分条件は以下のいずれかである：$p = q$ かつ $b \in \mathrm{BMO}$、または $p < q \leq p^*$ かつ $b$ が $\alpha$-ホルダー連続（$\alpha = (1/p - 1/q)d$）、または $q > p^*$ かつ $b$ が定数、または $p > q$ かつ $b = a + c$（$a \in L^r$、$1/r = 1/q - 1/p$、$c$ は定数）。
• 任意の非ゼロの同次特異積分作用素 $T$ に対して、$[b,T]$ が $L^p(\mathbb{R}^d)$ 上で有界であるためには $b \in \mathrm{BMO}(\mathbb{R}^d)$ が必須である。これは Lerner, Ombrosi, および Rivera-Ríos が提起した最近の未解決問題を解決する。
• 核 $K$ に対して最小限の非退化性および $A_p$ 重み仮定のもとで、$k$ 階反復交換子 $T_b^k$ の $L^p(\mu) \to L^p(\lambda)$ 有界性のためには $b \in \mathrm{BMO}(\nu^{1/k})$ が必須であることが示された。
• 不等式 $\|b\|_{\mathrm{BMO}(\nu^{1/k})} \lesssim \Theta^{1/k}$ が成り立ち、ここで $\Theta$ は弱型テスト条件 (4.7) を制御する。これは交換子ノルムに鋭い依存関係を確認する。
• $p > 1$ に対して、任意の $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$ は、$u \in \dot{W}^{1,dp}(\mathbb{R}^d)^d$ に対して $Ju = \det \nabla u$ となる正規化ヤコビアンの収束級数として表現可能であり、$p=1$ の場合の結果を $p>1$ に拡張した。
• この表現は、Iwaniec の予想（$Ju = f$ が $L^p(\mathbb{R}^d)$ で解けること）を支持し、$p > 1$ に対して構成的枠組みを提供する。