[論文レビュー] The Lackadaisical Quantum Walker is NOT Lazy at all

Kun Wang, Nan Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のラジオシティ要因τを有する直線上のラクダイセイ量子ウォーク（LQW）について、厳密な解析的考察を提供する。局在確率、ピーク速度、および長時間近似された確率密度関数の正確な表現を導出する。主な発見は、すべてのτ > 0に対してLQWが力学的拡散を示し、分散がt²に比例すること、驚くべきことにτを増加させることで拡散速度が向上することである。これは古典的直感と矛盾するが、名前とは裏腹にLQWは実際には「怠け者」ではないことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study the properties of lackadaisical quantum walks on a line. This model is first proposed in~\cite{wong2015grover} as a quantum analogue of lazy random walks where each vertex is attached $τ$ self-loops. We derive an analytic expression for the localization probability of the walker at the origin after infinite steps, and obtain the peak velocities of the walker. We also calculate rigorously the wave function of the walker starting from the origin and obtain a long time approximation for the entire probability density function. As an application of the density function, we prove that lackadaisical quantum walks spread ballistically for arbitrary $τ$, and give an analytic solution for the variance of the walker's probability distribution.

研究の動機と目的

• 任意のラジオシティ要因τに対して、直線上のラクダイセイ量子ウォーク（LQW）の漸近的局在確率を分析すること。
• ウォークの分布における左および右方向に進む確率ピークの速度を明示的に導出すること。
• LQWの完全な確率密度関数の長時間近似を取得すること。
• LQWが力学的に拡散することを厳密に証明し、ウォークの位置分布の分散に対する解析的解を導出すること。
• τを増加させると拡散速度が向上することを示し、古典的「怠け者ウォーク」の直感とは逆転する、直感に反するLQWの振る舞いを解明すること。

提案手法

• 時間発展を解析し、原点における極限コイン状態を導出するために離散フーリエ変換を用いる。
• 初期コイン状態を極限コイン状態に変換する一連の線形写像F_jを定義し、局在確率の正確な計算を可能にする。
• フーリエ法を用いて確率密度関数の長時間近似を導出し、ディラックのデルタ関数とコンパクトに有界な連続成分を含む形とする。
• 運動量空間における密度関数の台を分析することで、確率分布のピーク速度を導出する。
• 密度関数の2番目のモーメントを用いてウォークの位置分布の分散を計算し、拡散係数c(τ, α, β)の解析的表現を導出する。
• 分散の式を解析的に解き、c(τ, α, β) ∈ (0,1) であり、τ、α、βに依存することを示し、拡散行動の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限時間極限におけるラクダイセイ量子ウォークの原点での正確な局在確率は何か？ また、τおよび初期コイン状態にどのように依存するか？
• RQ2 ウォークの確率分布における左および右方向に進むピークの速度に対する解析的表現は何か？
• RQ3 LQWの完全な確率密度関数は漸近的にどのように振る舞い、その関数的形は何か？
• RQ4 ラクダイセイ量子ウォークは力学的に拡散するのか？ もしそうなら、時間とともに分散がどのようにスケーリングする解析的形は何か？
• RQ5 なぜラジオシティ要因τを増加させると、LQWでは拡散速度が向上するのか？ これは古典的直感と矛盾する。

主な発見

• 無限時間極限における原点の局在確率は、初期コイン状態に依存せず、唯一τに依存する。
• 左および右方向に進む確率波のピーク速度は解析的に導出され、τに依存する。
• 長時間における確率密度関数は、ピーク速度に位置するディラックのデルタ関数と、コンパクトに有界な連続成分から構成される。
• すべてのラクダイセイ量子ウォークは力学的に拡散し、分散がt²に比例することを確認し、すべてのτ > 0に対して力学的輸送が成立することを示した。
• 拡散係数c(τ, α, β)は解析的に導出され、区間(0,1)に位置しており、τを増加させることで拡散速度が向上することが示され、古典的期待とは逆転する。
• 数値シミュレーションにより、理論的拡散係数の値が非常に高い精度で確認され、c(τ, α, β)の解析的解の妥当性が検証された。