[論文レビュー] The Lagrange-Poincaré equations for a mechanical system with symmetry on the principal fiber bundle over the base represented by the bundle space of the associated bundle

S. N. Storchak|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関連ベクトル bundle の全空間を底空間とする主束上の対称性をもつ力学系に対して、Poincaré の変分原理を用いてラグランジュ＝ポincare方程式を導出する。主な貢献は、局所的に主束の切断によって定義される従属変数を用いた定式化であり、これによりゲージ理論、特にヤン・ミルズ場と直接的な類似性が得られ、相対的平衡状態が固有値問題に従う構造的同一性を持つ方程式が得られる。

ABSTRACT

The Lagrange--Poincaré equations for a mechanical system which describes the interaction of two scalar particles that move on a special Riemannian manifold, consisting of the product of two manifolds, the total space of a principal fiber bundle and the vector space, are obtained. The derivation of equations is performed by using the variational principle developed by Poincaré for the mechanical systems with a symmetry. The obtained equations are written in terms of the dependent variables which, as in gauge theories, are implicitly determined by means of equations representing the local sections of the principal fiber bundle.

研究の動機と目的

• 主束の底空間が関連ベクトル bundle の全空間であるような、対称性をもつ力学系の幾何学的定式化を構築すること。
• Poincaré の変分原理を適用し、束の局所的切断によって暗黙的に定義される従属変数を用いた運動方程式を導出すること。
• 制約付きで独立でない座標を用いることで、得られた方程式とゲージ理論（特にヤン・ミルズ場）との構造的類似性を確立すること。
• リーマン多様体上の群対称性をもつスカラー粒子の相互作用を記述する基礎的モデル系を提供し、ゲージ理論の力学的挙動に関連付けること。
• 有限次元的な設定での力学的アナロジーを用いて、場の系における相対的平衡状態の解析を可能にする。

提案手法

• 系は、リーマン多様体（主束の全空間）と有限次元ベクトル空間の積からなる配置空間上を移動する2つの相互作用するスカラー粒子としてモデル化される。
• コンパクトなリー群の自由で、適切で、等長的かつ滑らかな作用が、配置空間に作用することで、リーマン多様体および全空間に主束構造が誘導される。
• 運動方程式は、対称性および制約付き変数を考慮したPoincaréの変分原理に基づいて導出される。
• 従属変数は、主束の局所的切断を定義する方程式の解として導入され、ヤン・ミルズ理論におけるゲージ固定条件に類似する。
• ラグランジュ＝ポincare方程式は、水平成分と垂直成分に分解され、水平成分には水平部分空間および垂直部分空間への射影子 $N^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ および $(P_{\bot})^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ が含まれる。
• 水平計量 $\tilde{G}^{H}_{\tilde{A}\tilde{B}}$ に対して、群作用および座標変換のもとで整合性を保つために、重要な恒等式およびキリング関係が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主束の底空間が関連ベクトル bundle の全空間であるような、対称性をもつ力学系に対して、ラグランジュ＝ポincare方程式をどのように定式化できるか。
• RQ2 局所的切断によって暗黙的に定義される従属変数が、対称力学系の運動記述において果たす役割は何か。
• RQ3 導出された方程式が、ヤン・ミルズゲージ理論のものと構造的にどのように類似しているか、特に相対的平衡状態の文脈で。
• RQ4 群作用および切断の変更の下で、射影子 $N^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ および $(P_{\bot})^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ の変換性は何か。
• RQ5 水平計量 $\tilde{G}^{H}_{\tilde{A}\tilde{B}}$ のキリング関係が、微分の下でどのように動的制約を課え、群作用および接続構造と整合性を保っているか。

主な発見

• 従属変数が主束の局所的切断を定義する方程式の解として与えられる形で、ラグランジュ＝ポincare方程式が導出され、これによりゲージ理論との直接的な類似性が実現される。
• 方程式は水平成分と垂直成分に分解され、水平成分は射影子 $N^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ に支配され、垂直成分は直交射影子 $(P_{\bot})^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ に支配され、束の幾何構造と整合的であることが保証される。
• 群作用および切断の変更の下での射影子および計量成分の変換則が明示的に導出され、構造群に関して不変であることが示される。
• 水平計量 $\tilde{G}^{H}_{\tilde{A}\tilde{B}}$ のキリング関係は微分を用いて導出され、群作用および接続構造と整合的であることが保証される。
• 系の運動は構造群の作用に関して不変であり、従属変数は $F^A(Q^*,a)$、$\bar{D}^m_n(a)$、および $\check{F}^C_A$ を通じて一貫して変換される。
• 相対的平衡状態を記述する方程式は、固有値問題に従うことが示され、ヤン・ミルズ場方程式の構造と整合的に、無限個のこのような解が存在する可能性を示唆する。