[論文レビュー] The Lang-Trotter Conjecture on Average

Stephan Baier|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、ℚ 上に定義された楕円曲線におけるフロベニウストレースの分布に関するラング＝トロッター予想の平均漸近公式を確立する。係数 |a| ≤ A、|b| ≤ B である曲線族の平均をとることで、トレースが r であるような p ≤ x である素数の平均個数が、C_r√x/log x に漸近することを証明する。これは、この漸近式が成立するための A および B の範囲を、先行研究よりも改善した。

ABSTRACT

For an elliptic curve $E$ over $ atq$ and an integer $r$ let $π_E^r(x)$ be the number of primes $p\le x$ of good reduction such that the trace of the Frobenius morphism of $E/\fie_p$ equals $r$. We consider the quantity $π_E^r(x)$ on average over certain sets of elliptic curves. More in particular, we establish the following: If $A,B>x^{1/2+ε}$ and $AB>x^{3/2+ε}$, then the arithmetic mean of $π_E^r(x)$ over all elliptic curves $E$ : $y^2=x^3+ax+b$ with $a,b\in \intz$, $|a|\le A$ and $|b|\le B$ is $\sim C_r\sqrt{x}/\log x$, where $C_r$ is some constant depending on $r$. This improves a result of C. David and F. Pappalardi. Moreover, we establish an ``almost-all'' result on $π_E^r(x)$.

研究の動機と目的

• 楕円曲線族におけるフロベニウストレース分布に関するラング＝トロッター予想の平均形を精緻化すること。
• 誤差項を改善し、族パラメータ A および B の必要サイズ条件を弱める。
• A,B > x^{1+ε} かつ AB < exp(exp(√x/log^c x)) の条件下で、族のほとんどすべての曲線に対して予想が成り立つことを示す「ほとんどすべて」の結果を確立すること。
• 族における個々の定数 C_{E,r} の平均が C_r に収束するという予想に裏付けを与えること。

提案手法

• 曲線族における π_E^r(x) の分散を制御するために、特徴和推定とツァラノフ正規順序法を用いる。
• トレースが r であるような p を法とする同型類の数を数えるために、クロネッカー類数 H_{r,p} を適用する。
• コーシー＝シュワルツの不等式と乗法的関数に関する特徴和の評価を用いて、a_{p}(E)=r=a_{q}(E) を満たす解の個数を推定する。
• 主項 ∼C_r π_{1/2}(x) を導出し、H_{r,p} ≪ p^{1/2+ε} および特徴和推定による誤差項を制御する。
• 四次剰余特徴とその相互作用の構造を用いて、a_p(E)=r を満たす (a,b) の和を扱う。
• モーメント法と分散制御を用い、ツァラノフ法を介して「ほとんどすべて」の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 |a| ≤ A、|b| ≤ B である楕円曲線族において、a_p(E) = r を満たす p ≤ x である素数の平均個数が、C_r√x/log x に漸近するかどうかを示せるか？
• RQ2 この平均漸近式が成り立つために必要な A および B の最小サイズは何か？
• RQ3 族に含まれる曲線のうち、ラング＝トロッター漸近式を満たさないものはどれくらいの数であり、その例外集合は定量的に評価できるか？
• RQ4 族における個々の定数 C_{E,r} の平均が、グローバル定数 C_r に収束するか？

主な発見

• 係数 |a| ≤ A、|b| ≤ B であるすべての楕円曲線 y² = x³ + ax + b における π_E^r(x) の平均は、A,B > x^{1/2+ε} かつ AB > x^{3/2+ε} のとき、∼C_r√x/log x に漸近する。
• 平均における誤差項は、O((1/A + 1/B)x log x + x^{5/4}log³x/√(AB) + √x/log^c x) に改善され、先行研究の境界を精緻化した。
• 「ほとんどすべて」の結果が証明された：A,B > x^{1+ε} かつ AB < exp(exp(√x/log^c x)) のとき、すべての曲線のうち O(AB/log^d z) 個を除き、|π_E^r(x) - C_r π_{1/2}(x)| ≪ √x/log^c x が成り立つ。
• 族における π_E^r(x) の分散は、O((1/A + 1/B)x² + x^{5/2}log³x/√(AB) + x/log^c x + √x log log(10AB)) で有界であることが示され、平均的挙動が確立された。
• この結果により、族における個々の定数 C_{E,r} の平均が C_r に収束することを確認し、ラング＝トロッター予想を支持する。