[論文レビュー] The Langlands-Shahidi Method for the metaplectic group and applications

Dani Szpruch|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体 $\mathbb{F}$ 上のシンプレクティック群の二重被覆である $\overline{Sp}_{2n}(\mathbb{F})$ であるメタプレクティック群に対して、ラングランズ＝シャヒディ法を拡張する。真性表現のための局所係数および $\gamma$-因子を構築し、それらを用いて誘導表現の不変性基準を確立する。具体的には、$s=0$ における $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, s, \psi)$ の非零性が、誘導表現の不変性を決定することを示し、局所ラングランズ対応およびシータ対応を通じて、$SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ の古典的理論と類似性を示す。

ABSTRACT

I am applying the Langlands-Shahidi method to the metaplectic double cover of Sp(2n). I proved that a Whittaker model of an irreducible admissible representation of this group is unique. As a result I was able to define the local coefficients for this group. I used them to determine irreducibility of parabolic induction. I also found some connections with the representation theory of SO(2n+1). I have defined local gamma factors and proved some properties of them.

研究の動機と目的

• 再帰的代数群に対して当初開発されたラングランズ＝シャヒディ法を、代数群でない（非自明な中心拡大を有する）メタプレクティック群 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ に拡張すること。
• 真性表現のための局所係数および $\gamma$-因子を定義・研究すること、特に放物的誘導およびウィットカー模型の文脈において。
• 局所係数および $\gamma$-因子の解析的性質を用いて、$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ の真性表現の放物的誘導の不変性基準を確立すること。
• 局所シータ対応およびプランシュレ測度を通じて、$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ における放物的誘導と $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ におけるそれとの間の関係を調査すること。

提案手法

• 本稿は、ローのコycleを用いて $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ を $Sp_{2n}(\mathbb{F})$ の中心拡大として構成し、ブリュア分解、カルタン分解、およびイワサワ分解と整合性を持つようにする。
• 本稿は、$\overline{P} = \overline{M} \ltimes \mu(N)$ によるレヴィ分解を用いて、$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ における真性放物的誘導を定義し、誘導表現間の相互作用作用素を研究する。
• 主系列表現に対して、局所係数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;k}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ を定義し、特に非アーチメティックおよび実数の場合に明示的に計算する。
• $\gamma$-因子 $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, s, \psi)$ は局所係数を介して定義され、乗法性および関数等式を満たすことが示され、$SL_2$ の場合に明示的な計算が行われる。
• Knapp-Stein次元定理を用いて誘導表現の構造を分析し、ウィットカー模型の理論を用いて一意性および不変性を確立する。
• 本稿は、局所係数およびプランシュレ測度の解析的性質を比較することで、$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ と $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ の間の類似性を示し、シータ対応を通じた対応関係を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラングランズ＝シャヒディ法は、再帰的代数群でないメタプレクティック群 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ にどのように一般化可能か？
• RQ2 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ の真性表現に対する局所係数および $\gamma$-因子 $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, s, \psi)$ の性質は何か？
• RQ3 真性超臨界的表現 $\overline{\sigma}$ および自己双対的 $\tau$ に対して、放物的誘導 $I(\tau, \overline{\sigma})$ が不変である条件は何か？
• RQ4 局所シータ対応を通じて、$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ と $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ の放物的誘導間に構造的対応関係があるか？
• RQ5 局所係数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;0}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ の解析的性質は、$SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ のプランシュレ測度とどのように関係するか？

主な発見

• $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ の局所係数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;0}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ は、不変超臨界的で一般な $\tau$ に対して $s=0$ で正則かつ非零であり、これにより $\gamma$-因子がその点で正しく定義され、正則であることが保証される。
• 真性超臨界的 $\overline{\sigma}$ および自己双対的 $\tau$ に対して、$I(\tau, \overline{\sigma})$ の不変性は、$\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, 0, \psi)$ の非零性と同値である。
• $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ の局所係数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;0}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ は、$SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ の対応する係数と同一の解析的性質を持つため、深い構造的類似性が存在する。
• $n$ が奇数の場合、$I(\tau)$ は不変である。これは、既知の結果 [55] に従い、単純な誘導 $I^{\prime\prime}(\tau)$ の可約性から示される。
• 本稿は、$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ と $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ の放物的誘導間に、$\overline{\sigma} \times \tau$ の $\gamma$-因子が $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ のプランシュレ測度に一致するという予想的対応関係を確立する。
• ウィットカー模型の理論を用いて一意性を証明し、特に $SL_2$ の場合に $\gamma$-因子をターティの理論における標準的 $\gamma$-因子と関連付ける。