[論文レビュー] The Laplace and Mellin transforms of powers of the Riemann zeta-function

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|May 29, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、臨界線上のリーマン・ゼータ関数のべき乗のラプラス変換およびメリン変換を調査し、$L_k(s)$ および $Χ_k(s)$ 変換に関する新たな評価を確立する。これらの変換と $|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$ 階モーメントとの間の重要な推定式を導出し、$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ を証明する。これは $\varepsilon$ の損失を除いて最良の結果である。

ABSTRACT

This paper gives a survey of known results concerning the Laplace transform $$ L_k(s) := \int_0^\infty |ζ(1/2+ ix)|^{2k}{ m e}^{-sx}{ m d} x \qquad(k \in N, \R s > 0), $$ and the (modified) Mellin transform $$ {\cal Z}_k(s) := \int_1^\infty|ζ(1/2+ ix)|^{2k}x^{-s}{ m d} x\qquad(k\in N), $$ where the integral is absolutely convergent for $\R s \ge c(k) > 1$. Also some new results on these integral transforms of $|ζ(1/2+ ix)|^{2k}$ are given, which have important connections with power moments of the Riemann zeta-function $ζ(s)$.

研究の動機と目的

• 自然数 $k$ に対して、$L_k(s) = \int_0^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} e^{-sx} dx$ であるラプラス変換 $L_k(s)$ と、$\mathcal{Z}_k(s) = \int_1^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} x^{-s} dx$ である修正メリン変換 $\mathcal{Z}_k(s)$ を分析すること。
• 漸近的推定を用いて、これらの積分変換を $I_k(T) = \int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ であるべきモーメントに結びつけること。
• スペクトル理論および明示公式を用いて、$|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$ 階モーメントに対する新たな評価を確立すること、特に $k=6$ の場合に注目する。
• $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ を証明すること。これは $\varepsilon$ の損失を除いて最良の結果である。

提案手法

• ラプラス変換 $L_k(s)$ は部分積分および $I_k(T)$ に関する評価を用いて分析され、$L_k(1/T)$ と $I_k(T)$ との関係が確立される。
• 修正メリン変換 $\mathcal{Z}_k(s)$ は、逆メリン変換および平滑化関数のメリン変換 $F(s)$ を含む積分表現と併用される。
• 本稿では、本多氏の明示的スペクトル公式が適用され、特にマッス形式の和を含む：$S_m(K;K',t) = \sum_{K < \kappa_j \leq K'} \alpha_j H_j^m(1/2) \cos(\kappa_j \log(4et/\kappa_j))$。
• この手法は、スペクトル和 $S_m(K;K',t)$ の $L^2$ ノルムを評価することに依存し、$m=1,2,3$ の場合に $\int_T^{2T} |S_m(K;K',t)|^2 dt \ll_{\varepsilon} T^{1+\varepsilon} K^3$ が成り立つことを利用している。
• 係数 $\kappa_j^{-3/2}$ および $\exp(-(\Delta \kappa_j / T)^2)$ の減衰を扱うために、部分和および切り詰め技術が用いられる。
• 最終的な評価は、 dyadic 区間での和をとり、$E_2(t) \sim \sum \alpha_j H_j^3(1/2) \kappa_j^{-3/2} \cos(\cdots)$ との関係を用いて得られる。ここで $\int_0^T E_2^2(t) dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラス変換およびメリン変換 $|\zeta(1/2 + ix)|^{2k}$ は、リーマン・ゼータ関数のべきモーメント $I_k(T)$ とどのように関係するか？
• RQ2 $\mathcal{Z}_k(s)$ 変換を用いて、$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ の非自明な評価を導くことができるか？
• RQ3 12次モーメント $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt$ の最も鋭い既知の評価は何か？
• RQ4 マッス形式のスペクトル理論および明示公式は、$|\zeta(1/2 + it)|$ の高次モーメントの推定にどのように寄与するか？
• RQ5 ラプラス変換の逆変換を用いて、$L_k(s)$ 変換が $I_k(T)$ の評価を導くのにどの程度利用可能か？

主な発見

• ラプラス変換 $L_k(\sigma)$ は、$\sigma \to 0^+$ のとき $L_k(\sigma) \ll_{\varepsilon} (1/\sigma)^{c_k + \varepsilon}$ を満たし、これにより $I_k(T) \ll_{\varepsilon} T^{c_k + \varepsilon}$ が導かれる。
• 修正メリン変換 $\mathcal{Z}_k(s)$ は、$\Re(s) \geq c(k) > 1$ で絶対収束し、逆メリン変換を用いてモーメント推定に利用される。
• スペクトル和 $S_m(K;K',t)$ は、$m=1,2,3$ の場合に $\int_T^{2T} |S_m(K;K',t)|^2 dt \ll_{\varepsilon} T^{1+\varepsilon} K^3$ を満たし、これは主要な技術的道具である。
• $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ が確立され、これは $\varepsilon$ の損失を除いて最良の結果である。
• $\int_0^T E_2^2(t) dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ が証明され、ここで $E_2(t)$ は第4モーメント公式の誤差項である。この結果は12次モーメントの評価を示唆する。
• 結果として得られる $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ は、スペクトル和の評価および $t \sim 2^{-j}T$ における dyadic 和の取り扱いに起因する。