[論文レビュー] The Laplacian eigenvalues of graphs: a survey

Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2011

Graph theory and applications参考文献 85被引用数 48

ひとこと要約

本調査は、次数列、独立数、連結性などのグラフ不変量から導かれる上下限に基づいて、グラフのラプラシアン固有値について包括的な概説を提供する。未発表の結果や、特に次数列による固有値の主要化および双対確率行列と代数的連結性に関する予想を提示する。

ABSTRACT

The Laplacian matrix of a simple graph is the difference of the diagonal matrix of vertex degree and the (0,1) adjacency matrix. In the past decades, the Laplacian spectrum has received much more and more attention, since it has been applied to several fields, such as randomized algorithms, combinatorial optimization problems and machine learning. This paper is primarily a survey of various aspects of the eigenvalues of the Laplacian matrix of a graph for the past teens. In addition, some new unpublished results and questions are concluded. Emphasis is given on classifications of the upper and lower bounds for the Laplacian eigenvalues of graphs (including some special graphs, such as trees, bipartite graphs, triangular-free graphs, cubic graphs, etc.) as a function of other graph invariants, such as degree sequence, the average 2-degree, diameter, the maximal independence number, the maximal matching number, vertex connectivity, the domination number, the number of the spanning trees, etc.

研究の動機と目的

• 過去20年間におけるグラフのラプラシアン行列のスペクトル理論の最新進展を調査すること。
• 次数列、直径、連結性などの主要なグラフ不変量を用いて、ラプラシアン固有値の上界および下界を分類・分析すること。
• 特に双対確率行列と代数的連結性の関係に焦点を当てた、未発表の結果および未解決の問題を提示すること。
• 特にラプラシアン固有値が次数列の共役に主要化するという予想を調査すること。
• 特定のグラフクラス（木、二部グラフ、正則グラフなど）におけるこれらのスペクトル境界の意味を検討すること。

提案手法

• ラプラシアン行列 $ L(G) = D(G) - A(G) $ 及びその二次形式 $ x^T L(G) x = \sum_{(i,j)\in E}(x_i - x_j)^2 $ を用いた行列理論的ツールの利用。
• 主要化理論を用いて、ラプラシアン固有値の順序列と次数列およびその共役との比較を行う。
• M-行列理論およびグラフ構造解析を用いて、固有値境界に関する部分的結果を証明する。
• 行列-木定理およびキルホフの公式を用い、$ \tau(G) = \frac{1}{n} \prod_{i=1}^{n-1} \lambda_i $ を通じて生成木の数を数える。
• 双対確率行列 $ \Omega(G) = (I + L(G))^{-1} $ 及びその最小成分を分析し、代数的連結性を研究する。
• 組合せ的ラプラシアン作用素および単体的複体への一般化を用いて、固有値の主要化に関する予想を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数列およびその他の不変量を用いて、グラフのラプラシアン固有値の最もタイトな既知の上界および下界は何か？
• RQ2 予想7.2が示すように、ラプラシアン固有値の順序列が共役次数列を主要化するか？
• RQ3 双対確率行列の最小成分を用いて、代数的連結性 $ \lambda_{n-1}(G) $ の最良の下界は何か？
• RQ4 メリスの双対確率行列および代数的連結性に関する予想、特に予想6.8および予想6.9は成立するか？
• RQ5 特にスレッショルドグラフおよび正則グラフにおいて、固有値の主要化予想における等号成立条件は何か？

主な発見

• 予想7.1（$ (\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}) \succeq (d_1+1, d_2, \dots, d_n-1) $）は、M-行列理論を用いてグロンによって確認された。
• 予想7.2（$ (\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}) \preceq (d_1^*, \dots, d_n^*) $）は未解決のままだが、正則グラフ、ほぼ正則グラフ、および木において証拠により支持されている。
• 次数反正則グラフ $ E_n $ について $ \omega(E_n) = \frac{1}{2(n+1)} $ であるという予想は、ベルマンとチャンにより2000年に確認された。
• 最近、張とウーにより、木の双対確率行列の最小成分に関する鋭い境界が得られ、それが予想6.8の反証に用いられた。
• 木に関して、スティーブン（2004年）は予想7.2が成り立つことを証明し、一般の有効性に対する強い証拠を提供した。
• 行列-木定理により、$ \tau(G) = \frac{1}{n} \prod_{i=1}^{n-1} \lambda_i $ が確認され、生成木の数が非ゼロラプラシアン固有値の積と関連することが示された。