[論文レビュー] The Large Davenport Constant II: General Upper Bounds

David J. Grynkiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、構造的群論と組合せ的列解析を用いて、有限非アーベル群における大ダヴェンポール定数 D(G) の新しい一般上界を確立する。主な結果として、D(G) ≤ d(G) + 2|G′| − 1、D(G) ≤ (3/4)|G|（奇数位数の二面体群に同型でない非巡回群に対して）、および p|(q−1) を満たす異なる素数 p, q に対して、非アーベル群の位数 pq の場合の D(G) = 2q という正確な値が得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group written multiplicatively. By a sequence over $G$, we mean a finite sequence of terms from $G$ which is unordered, repetition of terms allowed, and we say that it is a product-one sequence if its terms can be ordered so that their product is the identity element of $G$. The small Davenport constant $\mathsf d (G)$ is the maximal integer $\ell$ such that there is a sequence over $G$ of length $\ell$ which has no nontrivial, product-one subsequence. The large Davenport constant $\mathsf D (G)$ is the maximal length of a minimal product-one sequence---this is a product-one sequence which cannot be partitioned into two nontrivial, product-one subsequences. The goal of this paper is to present several upper bounds for $\mathsf D(G)$, including the following: $$\mathsf D(G)\leq {ll} \mathsf d(G)+2|G'|-1, & where $G'=[G,G]\leq G$ is the commutator subgroup; \frac34|G|, & if $G$ is neither cyclic nor dihedral of order $2n$ with $n$ odd; \frac{2}{p}|G|, & if $G$ is noncyclic, where $p$ is the smallest prime divisor of $|G|$; \frac{p^2+2p-2}{p^3}|G|, & if $G$ is a non-abelian $p$-group. As a main step in the proof of these bounds, we will also show that $\mathsf D(G)=2q$ when $G$ is a non-abelian group of order $|G|=pq$ with $p$ and $q$ distinct primes such that $p\mid q-1$.

研究の動機と目的

• アーベル群に限らない有限非アーベル群への大ダヴェンポール定数 D(G) の理論の拡張。
• 非アーベル p-群や非巡回群に対して、既知の結果を改善する一般上界 D(G) の確立。
• 異なる素数 p, q に対して、p|(q−1) を満たす非アーベル群の位数 pq における D(G) の正確な値の特定。
• 特に交換子部分群 G′ とシロ部分群を用いた群構造との関連において、D(G) の理解の強化。
• ダヴェンポール定数の枠組みを通じて、不変量論および組合せ的数論に適用可能な道具および上界の提供。

提案手法

• 積が1になる列に関する技術的補題と部分群構造を用いて、上界 D(G) ≤ d(G) + 2|G′| − 1 を導出する。
• 帰納法と群の商群の技法（特に G/Z(G) と G/G′ の分析）を用い、既知の状況に還元する。
• p-群における部分集合の和と積が1になる列を制御するため、カウチ＝ダヴェンポール定理およびその等号成立条件を適用する。
• ミラー＝モレノ分類を用いて最小非アーベル群を分析し、p-群および pq-群に還元する。
• 形式的表示 ⟨α, τ : α^n=1, τ^m=1, ατ=τα^r⟩ を持つ群の提示理論を用い、m=4 および r²≡−1 mod q の場合の構造を分析し、D(G) を計算する。
• 先行研究 [3] の巡回的指数2部分群および商群におけるダヴェンポール定数の結果を活用し、再帰的上界を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル有限群 G に対して、d(G) と |G′| を用いた D(G) の最良の一般上界は何か？
• RQ2 奇数位数の二面体群に同型でないすべての非巡回群に対して、D(G) ≤ (3/4)|G| が成り立つか？
• RQ3 異なる素数 p, q に対して、p|(q−1) を満たす非アーベル群の位数 pq における D(G) の正確な値は何か？
• RQ4 交換子部分群 G′ の構造は D(G) の値にどのように影響するか？
• RQ5 すべての非巡回群 G に対して、D(G) ≤ (2/p)|G| が成り立つか？ここで p は |G| の最小の素因数である。

主な発見

• 任意の有限群 G に対して、D(G) ≤ d(G) + 2|G′| − 1 が成り立ち、等号成立は G がアーベル群である場合に限る。
• 非アーベル p-群に対しては、D(G) ≤ (p² + 2p − 2)/p³ |G| が成り立ち、さらに非アーベル p-群では D(G) ≤ (2/p)|G| に改善される。
• p|(q−1) を満たす非アーベル群 G の位数 pq に対しては、D(G) = 2q が成り立ち、これは正確な値であり、本稿の主要結果の一つである。
• 位数 2n（n が奇数）の二面体群に同型でない非巡回群 G に対しては、D(G) ≤ (3/4)|G| が成り立ち、これは鋭い上界であり、以前の推定値を改善する。
• 非巡回群 G に対しては、D(G) ≤ (2/p)|G| が成り立ち、ここで p は |G| の最小の素因数である。この上界は特定の p-群および pq-群においてタイトである。
• 本稿では、p|(q−1) を満たす非アーベル群の位数 pq に対して D(G) = 2q が成り立つことを確立し、予想の確認および小規模ダヴェンポール定数に関する先行研究の拡張を果たした。