[論文レビュー] The Large Deviation Principle for Coarse-Grained Processes

Richard S. Ellis, Kyle Haven+1 more|ArXiv.org|Dec 12, 2000

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元および準地軸渦乱の統計力学的モデルから生じる$L^2$-値の粗粒化過程のための大偏差原理（LDP）を確立する。積測度$P_n$の下での二重添え字過程$W_{n,r}$を用いて、強い$L^2$位相におけるLDPを証明し、弱位相におけるコンパクトなレベル集合を持つレート関数を得ることで、微小カノニカルおよびカノニカル系における平衡マクロ状態の厳密な特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

The large deviation principle is proved for a class of $L^2$-valued processes that arise from the coarse-graining of a random field. Coarse-grained processes of this kind form the basis of the analysis of local mean-field models in statistical mechanics by exploiting the long-range nature of the interaction function defining such models. In particular, the large deviation principle is used in a companion paper to derive the variational principles that characterize equilibrium macrostates in statistical models of two-dimensional and quasi-geostrophic turbulence. Such macrostates correspond to large-scale, long-lived flow structures, the description of which is the goal of the statistical equilibrium theory of turbulence. The large deviation bounds for the coarse-grained process under consideration are shown to hold with respect to the strong $L^2$ topology, while the associated rate function is proved to have compact level sets with respect to the weak topology. This compactness property is nevertheless sufficient to establish the existence of equilibrium macrostates for both the microcanonical and canonical ensembles.

研究の動機と目的

• 統計力学的モデルからの確率場に由来する粗粒化過程のための大偏差原理（LDP）を厳密に確立すること。
• 長距離相互作用を有する渦乱の局所平均場モデルにおける平衡マクロ状態の分析のための数学的基盤を提供すること。
• 大偏差技法を用いて、微小カノニカルおよびカノニカル系の両方における平衡マクロ状態の特徴付けを可能にすること。
• 渦やジェットなどの一貫構造の変分原理の導出を支援すること。
• 大偏差バウンドおよびライアプノフ関数を用いた平衡マクロ状態の安定性解析の理論的基盤を構築すること。

提案手法

• dyadic格子$\mathcal{L}_n$上に$i.i.d.$の確率変数の局所平均として二重添え字の粗粒化過程$W_{n,r}$を定義し、$a_n = 2^{2n}$個の格子点を有する。
• $\mathcal{Y}^{a_n}$上の積測度$P_n$を用い、$i.i.d.$成分が条件(1.1)を満たす指数モーメント条件を満たす分布$\rho$を持つ。
• 強い$L^2$位相における$W_{n,r}$のLDPを証明し、逸脱確率の鋭い漸近的バウンドを確立する。
• 関連するレート関数が弱$L^2$位相においてコンパクトなレベル集合を持つことを示し、変分問題における最小化子の存在を保証する。
• LDPを用いて、微小カノニカルおよびカノニカル系における平衡マクロ状態の変分原理を導出する。
• LDPを用いて、安定性解析におけるライアプノフ関数の使用を正当化し、ペナルティ化を用いてアーノルドの手法を微小カノニカル系へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗粒化過程$W_{n,r}$が$L^2$位相においていつ大偏差原理を満たすか。
• RQ2 弱位相におけるレート関数のレベル集合のコンパクト性が、平衡マクロ状態の存在をどのように支援するか。
• RQ3 非凹なエントロピーを有する渦乱モデルにおいて、微小カノニカル系とカノニカル系の関係は何か。
• RQ4 大偏差原理を用いて、両系における平衡マクロ状態の安定性基準をどのように導出できるか。
• RQ5 粗粒化手続きは、乱流の微視的ダイナミクスとマクロ的一貫構造との間にどのような役割を果たすか。

主な発見

• 粗粒化過程$W_{n,r}$は強い$L^2$位相において大偏差原理を満たす。
• LDPに付随するレート関数は弱$L^2$位相においてコンパクトなレベル集合を持つため、変分問題における最小化子の存在が保証される。
• LDPにより、2次元および準地軸渦乱のモデルにおける微小カノニカルおよびカノニカル系の両方における平衡マクロ状態の特徴付けが可能になる。
• 微小カノニカルエントロピー$S$が厳密に凹で滑らかであれば、両系は等価であるが、そうでない場合には非等価となり得る。この場合、$\mathcal{E}^{E^*}$はすべての$\mathcal{E}_\beta$と交わらない。
• $I + \beta H$をペナルティ化した洗練されたライアプノフ関数により、系が非等価である場合の微小カノニカル平衡マクロ状態の$L^2$安定性が確立される。
• LDPは、粗粒化過程がエルゴディックな進化の下で平衡マクロ状態に近いままであることを示す弱い安定性を提供する。