[論文レビュー] The Large-$N$ Limits of Brownian Motions on $\mathbb{GL}_N$

Todd Kemp|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、r, s > 0 でパラメータ化された不変リーマン計量族によって駆動される一般線型群 GL_N 上の2パラメータ族のブラウン運動を導入する。N → ∞ のとき、これらの行列値過程の非可換分布は、自由伊藤過程 b_{r,s}(t) に収束することが証明され、これは自由ストラスティック微分方程式を解く。この結果により、バイアヌの GL_N ブラウン運動の大N極限に関する未解決問題が解決され、自由ユニタリブラウン運動と自由乗法的ブラウン運動が特別な場合として統合される。

ABSTRACT

We introduce a two-parameter family of diffusion processes $(B_{r,s}^N(t))_{t\ge 0}$, $r,s>0$, on the general linear group $\mathbb{GL}_N$ that are Brownian motions with respect to certain natural metrics on the group. At the same time, we introduce a two-parameter family of free Itô processes $(b_{r,s}(t))_{t\ge 0}$ in a faithful, tracial $W^\ast$-probability space, and we prove that the full process $(B^N_{r,s}(t))_{t\ge 0}$ converges to $(b_{r,s}(t))_{t\ge 0}$ in noncommutative distribution as $N o\infty$ for each $r,s>0$. The processes $(b_{r,s}(t))_{t\ge 0}$ interpolate between the free unitary Brownian motion when $(r,s)=(1,0)$, and the free multiplicative Brownian motion when $r=s=\frac12$; we thus resolve the open problem of convergence of the Brownian motion on $\mathbb{GL}_N$ posed by Biane in 1997.

研究の動機と目的

• r, s でパラメータ化された不変リーマン計量を用いて GL_N 上のブラウン運動族を定義すること。
• これらの行列値拡散過程の大N極限を非可換確率過程として確立すること。
• バイアヌの GL_N 上のブラウン運動の収束に関する未解決問題を、極限の自由伊藤過程を同定することで解決すること。
• 極限過程の特別な場合として、自由ユニタリブラウン運動（r=1, s=0）と自由乗法的ブラウン運動（r=s=1/2）を統合すること。

提案手法

• ξᵢ, ηᵢ ∈ u_N に対して ⟨ξ₁+iη₁, ξ₂+iη₂⟩_{r,s}^N = -N/r Tr(ξ₁ξ₂) - N/s Tr(η₁η₂) で与えられる内積を用いて、GL_N 上の左不変リーマン計量族を導入する。
• 関連するラプラス＝ベルトラミ作用素 Δ_{r,s}^N を構成し、GL_N ブラウン運動 B_{r,s}^N(t) を生成子 (1/2)Δ_{r,s}^N として持つ拡散過程として定義する。
• 自由SDE db_{r,s}(t) = b_{r,s}(t) dw_{r,s}(t) - (1/2)(r-s)b_{r,s}(t) dt の解として、極限の自由伊藤過程 b_{r,s}(t) を定義する。ただし w_{r,s}(t) = i√r x(t) + √s y(t) である。
• 行列の増分の漸近的自由性とモーメント収束を用いて、N → ∞ のとき B_{r,s}^N(t) の非可換分布が b_{r,s}(t) のものに収束することを証明する。
• トレース多項式分解とインターブリンイング公式を用いて、行列モーメントと自由モーメントを P^{j,k}_τ 機能的を介して関係付ける。
• 時間区間の分割と増分分解を用いて、同時モーメント収束を自由独立性と増分の定常性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_N 上の2パラメータ族の不変リーマン計量を備えたブラウン運動の、大N極限は何か？
• RQ2 極限過程は、既知の自由確率過程（自由ユニタリブラウン運動や自由乗法的ブラウン運動）とどのように関係しているか？
• RQ3 漸近的自由性とモーメント法を用いて、GL_N ブラウン運動の非可換分布の収束を厳密に確立できるか？
• RQ4 極限過程 b_{r,s}(t) を記述する自由ストラスティック微分方程式の正確な形は何か？
• RQ5 パラメータ r と s は、大N極限において、さまざまな種類の自由ブラウン運動をどのように補間するか？

主な発見

• すべての r, s > 0 に対して、GL_N ブラウン運動 B_{r,s}^N(t) の非可換分布は、N → ∞ のとき自由伊藤過程 b_{r,s}(t) のものに収束する。
• 極限過程 b_{r,s}(t) は、自由SDE db_{r,s}(t) = b_{r,s}(t) dw_{r,s}(t) - (1/2)(r-s)b_{r,s}(t) dt を満たし、w_{r,s}(t) = i√r x(t) + √s y(t) である。ここで x(t), y(t) は自由に独立な自由セミサークルブラウン運動である。
• (r,s) = (1,0) のとき、極限過程 b_{1,0}(t) は自由ユニタリブラウン運動である。
• r = s = 1/2 のとき、極限過程 b_{1/2,1/2}(t) は自由乗法的ブラウン運動である。
• 収束はモーメントマッチングにより確立される：任意の非可換多項式 g に対して lim_{N→∞} E[tr(g(B_{t₁}^{ε₁}⋯B_{tₙ}^{εₙ}))] = τ(g(b_{t₁}^{ε₁}⋯b_{tₙ}^{εₙ}))) が成り立つ。
• B_{r,s}^N(t) の増分は漸近的に自由であり、定常的であるため、同時モーメント収束を自由独立性と極限増分の定常性に還元できる。