[論文レビュー] The largest 5th pivot may be the root of a 61st degree polynomial

James Chen, Alan Edelman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2026

Polynomial and algebraic computation被引用数 0

ひとこと要約

この論文はJuMP + Groebner基底 + 判別式多項式法を用いて、完全ピボット選択付きガウス消去の正確な最大成長因子を決定し、n=5の最大が61次多項式の根に等しいことを示し、n=6～8についての結果を提供します。

ABSTRACT

This paper introduces a number of new techniques in the study of the famous question from numerical linear algebra: what is the largest possible growth factor when performing Gaussian elimination with complete pivoting? This question is highly complex, due to a complicated set of polynomial inequalities that need to be simultaneously satisfied. This paper introduces the JuMP + Groebner basis + discriminant polynomial approach as well as the use of interval arithmetic computations. Thus, we are introducing a marriage of numerical and exact mathematical computations. In 1988, Day and Peterson performed numerical optimization on $n=5$ with NPSOL and obtained a largest seen value of $4.1325...$. This same best value was reproduced by Gould with LANCELOT in 1991. We ran extensive comparable experiments with the modern software tool JuMP and also saw the same value $4.1325...$. While the combinatorial explosion of possibilities prevents us from knowing whether there may not be a larger maximum, we succeed in obtaining the exact mathematical value: the number $4.1325...$ is exactly the root of a 61st degree polynomial provided in this work, and is a maximum given the equality constraints seen by JuMP. In light of the numerics, we pose the conjecture that this lower bound is indeed the maximum. We also apply this technique to $n = 6$, $7$, and $8$. Furthermore, in 1969, an upper bound of $4\frac{17}{18}\approx 4.94$ was produced for the maximum possible growth for $n = 5$. We slightly lower this upper bound to $4.84$.

研究の動機と目的

• 完全ピボット選択付きガウス消去における最大成長因子を動機づけ、決定する。
• 数値最適化と代数的手法を組み合わせた正確で計算可能な枠組みを開発する。
• 厳密な上界・下界分析とn=5に対する真の最大値の予測を提供する。

提案手法

• 等積 Constraints を満たす完全ピボット選択下で成長因子を数値的に最適化するために JuMP を使用する。
• 数値結果から厳密な制約を固定し、代数的除去を用いて残りの変数を解く。
• 非線形多項式依存変数を除去するために Groebner 基底計算を適用する。
• 成長因子の一変量多項式として候補最大値を見つけるために判別式多項式を使用する。
• n=5 の最大成長因子と一致する実根を (4,5) 区間で持つ61次多項式を導出する。
• このアプローチを n=6,7,8 へ拡張し、それぞれのサイズの下界を得る。

Figure 1. The 61st degree polynomial with only 12 Mathematica input cells

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n=5 における完全ピボット選択付きガウス消去で最大の成長因子はどれか？
• RQ2 最大値は整数係数を持つ高次多項式の根として正確に特徴づけられるか？
• RQ3 数値最適化と正確な代数的方法を組み合わせて成長因子の最大値を認証できるか？
• RQ4 n>5（例：n=6,7,8）へのこのアプローチの含意と拡張は何か？

主な発見

• 完全ピボット選択下の5x5 行列における最大成長因子は、区間 [4,5] における唯一の実根である61次多項式 P5(g) の実根である。
• 61次多項式は JuMP + Groebner 基底 + 判別式のパイプラインと因数分解により明示的に得られ（判別式は g の多項式で、区間 (4,5) に唯一の実根を与える）。
• 数値的に観測される値 4.1325… はこの根に厳密に対応し、高精度の検証（4.1325170786... および 4.132517078632472854223346853277）を提供する。
• Lancelot および JuMP ベースの数値実験は同じ値を再現し、それを著者が最大値と予想する下界（Conjecture 2.1）として支持している。
• この手法は n=6 の下界として値 5、n=7 の下界として第6次多項式の根、n=8 の下界として値 8 を提供する。
• n=5 の改善された上界 4.84 は、区間算術と解析の組み合わせにより得られ、Tornheim 1968 の境界を改善している。

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