[論文レビュー] The Leavitt path algebra of a graph

Gene Abrams, Gonzalo Aranda Pino|ArXiv.org|Sep 21, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、体 $K$ 上の行有限有向グラフ $E$ に対して、Leavitt パス代数 $L(E)$ を定義し、Cuntz-Krieger $C^*$-代数 $C^*(E)$ の代数的類似物として位置づける。主な貢献は、完全な特徴付けである：$L(E)$ が単純であるための必要十分条件は、$E$ が二つの条件を満たすことである — すなわち、非自明な真の遺伝的で飽和した頂点集合が存在せず、かつ $E$ のすべてのサイクルがエグジットを持つこと。

ABSTRACT

For any row-finite graph $E$ and any field $K$ we construct the {\its Leavitt path algebra} $L(E)$ having coefficients in $K$. When $K$ is the field of complex numbers, then $L(E)$ is the algebraic analog of the Cuntz Krieger algebra $C^*(E)$ described in [8]. The matrix rings $M_n(K)$ and the Leavitt algebras L(1,n) appear as algebras of the form $L(E)$ for various graphs $E$. In our main result, we give necessary and sufficient conditions on $E$ which imply that $L(E)$ is simple.

研究の動機と目的

• 行有限グラフに対して定義されたLeavittパス代数 $L(E)$ を、Cuntz-Krieger $C^*$-代数 $C^*(E)$ の代数的類似物として定式化し、任意の行有限グラフにまで枠組みを拡張すること。
• $L(E)$ の単純性の必要十分条件を確立し、$L(1,n)$ や行列代数に関する既知の結果を一般化すること。
• 先行研究におけるギャップを解消し、$M_n(K)$ や $L(1,n)$ といった、以前の結果ではカバーされていなかった代数を含む、単純性の完全な特徴付けを提供すること。
• 代数的構造 $L(E)$ と解析的 $C^*$-代数 $C^*(E)$ の関係を明確にし、$K = \mathbb{C}$ のとき $C^*(E)$ が $L(E)$ のノルム完備化であることを示すこと。

提案手法

• 頂点と辺の生成元を用いて、標準的な乗法関係を持つグラフ $E$ のパス代数 $A(E)$ を定義する。
• 各 $e \in E^1$ に対してゴースト辺 $e^*$ を追加してグラフを $\widehat{E}$ に拡張し、Leavittパス代数 $L(E)$ を $\widehat{E}$ のパス代数をCuntz-Krieger関係式（CK1 と CK2）で商した代数として定義する。
• CK1 関係式を適用：すべての $e,f \in E^1$ に対して $e^*f = \delta_{ef} r(f)$。CK2 関係式を適用：非ソース頂点 $v$ に対して $v = \sum_{s(e)=v} e e^*$。
• 頂点の部分集合が遺伝的であるとは、発行する辺について閉じていること、飽和しているとは、ある頂点から出るすべての辺が集合に含まれるならばその頂点も含まれることを意味する。この概念を用いて $L(E)$ のイデアルを分析する。
• 部分グラフ $E$ と $F$ の代数 $L(E)$ と $L(F)$ 間の準同型写像 $\Psi: L(E) \to L(F)$ を構成し、核を用いて非自明なイデアルの存在を介して単純性を分析する。
• $L(E)$ が単純であるならば、$E^0$ の空でないすべての遺伝的で飽和した部分集合は $E^0$ 全体でなければならないし、すべてのサイクルはエグジットを持つ必要がある。逆に、これらの条件が成り立てば $L(E)$ は単純であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行有限グラフ $E$ に対して、その関連するLeavittパス代数 $L(E)$ が単純であるための条件は何か？
• RQ2 $L(E)$ の単純性は、$E$ のサイクル構造とエグジットの存在とどのように関係しているか？
• RQ3 Leavittパス代数 $L(E)$ は、$M_n(K)$ や $L(1,n)$ のような既知の代数をどのように一般化するか？
• RQ4 $K = \mathbb{C}$ のとき、代数的構造 $L(E)$ と解析的Cuntz-Krieger $C^*$-代数 $C^*(E)$ との関係は何か？
• RQ5 $L(E)$ の単純性は、$E$ のグラフ論的性質のみを用いて完全に特徴付けられるか？

主な発見

• Leavittパス代数 $L(E)$ は、任意の行有限グラフ $E$ と体 $K$ に対して定義され、行列代数 $M_n(K)$ やLeavitt代数 $L(1,n)$ を特別な場合として一般化する。
• $K = \mathbb{C}$ のとき、$C^*$-代数 $C^*(E)$ は $L(E)$ のノルム完備化である。これにより、代数的・解析的構造の直接的な対応関係が確立される。
• $L(E)$ が単純であるための必要十分条件は、次の二つである：(1) $E^0$ の空でないすべての遺伝的で飽和した部分集合は $E^0$ 全体でなければならない。 (2) $E$ のすべてのサイクルはエグジットを持つ。
• この単純性基準は、$M_n(K)$ や $L(1,n)$ のような、以前の結果ではカバーされていなかった代数にも適用可能であり、$\mathcal{CK}_A(K)$ の理論で未解決だった領域を埋める。
• ソースもシンクも持たない有限グラフに対しては、$L(E) \cong \mathcal{CK}_{A_E}(K)$ が成り立ち、ここで $A_E$ は $E$ の辺行列を表す。これにより、代数的構成と行列に基づく構成が結びつく。
• この基準はアルゴリズム的に決定可能である：有限行有限グラフに対しては、有限回のステップで二つのグラフ論的条件をチェックすることで、$L(E)$ が単純かどうかを決定できる。