[論文レビュー] The Legendre determinant form for Drinfeld modules in arbitrary rank

Rudolph Perkins|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ランク $r$ のユニバーサル・ドリンフェルト・モジュラー形式の剛体解析的自明化とベクトル的イーゼンスタイン級数の変形を用いて、$\mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_q[\theta])$ に対して、最小重量 $1 + q + \cdots + q^{r-1}$ の、どこでも消えない単一尖点を持つドリンフェルトモジュラー形式を構成する。主な貢献は、任意のランクにおいてこのレジェンドル行列式形式の正則性と非消滅性を証明することであり、また、$\mathbb{F}_q[\theta]$ 上のすべてのドリンフェルト・モジュラー形式に対して、de Rham cohomology から Betti cohomology へのサイクル類写像が同型であることを確立することである。

ABSTRACT

For each positive integer $r$, we construct a nowhere-vanishing, single-cuspidal Drinfeld modular form for $\GL_r(\FF_q[θ])$, necessarily of least possible weight, via determinants using rigid analytic trivializations of the universal Drinfeld module of rank $r$ and deformations of vectorial Eisenstein series. Along the way, we deduce that the cycle class map from de Rham cohomology to Betti cohomology is an isomorphism for Drinfeld modules of all ranks over $\FF_q[θ]$.

研究の動機と目的

• ドリンフェルトモジュラー形式の任意ランク $r$ におけるゲクララーのレジェンドル行列式形式の完成を図ること。
• ベクトル的モジュラー形式の変形理論をより高いランク $r$ に拡張すること。
• レジェンドル行列式形式が $\mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_q[\theta])$ に対して無限遠点で正則であり、どこでも消えないことを証明すること。
• $\mathbb{F}_q[\theta]$ 上の任意ランクのドリンフェルト・モジュラー形式に対して、de Rham と Betti コホロロジーの間の同型を確立すること。
• ベクトル的イーゼンスタイン級数の変形の行列式を通じて、単一尖点モジュラー形式を体系的に構成する方法を提供すること。

提案手法

• ランク $r$ のユニバーサル・ドリンフェルト・モジュラー形式の剛体解析的自明化を用いて、行列式がレジェンドル形式を与える行列 $\Xi$ を定義する。
• 自明化行列が満たす $\tau$-差分方程式を用いて、モジュラー性および非消滅性の性質を分析する。
• ベクトル的イーゼンスタイン級数 $\mathcal{E}_k$ の変形を導入し、無限遠点における明示的展開を得ることで、既知の形式との比較を可能にする。
• de Rham コホロロジーから Betti コホロロジーへのサイクル類写像を適用し、明示的構成によりそれが同型であることを示す。
• 行列式 $\det\Xi$ の非消滅性および成分の $\mathbb{F}_q[t]$-線形独立性を用いて、形式がどこでも消えないことを証明する。
• ムーア行列式の理論およびアンダーソン生成関数を用いて、代数的独立性および消滅条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意ランク $r$ のドリンフェルト・モジュラー形式に対して、剛体解析的自明化を用いてレジェンドル行列式形式を構成し、無限遠点で正則であることを証明できるか？
• RQ2 高ランクにおける逆剛体解析的自明化行列 $\Psi^{-1}$ の列と行列 $\Xi$ 間の正確な関係は何か？
• RQ3 すべての単一尖点モジュラー形式が、ベクトル的イーゼンスタイン級数の $r$-重の変形の行列式として実現可能か？
• RQ4 $\mathbb{C}_\infty$ 内のパrameter $t$ の評価は、ドリンフェルト・モジュラー形式の de Rham コホロロジーおよび $A$-加群構造にどのように影響するか？
• RQ5 $\theta$--adic テートモジュールとドリンフェルト・モジュラー形式の de Rham コホロロジーの間の正確な関係は何か？

主な発見

• レジェンドル行列式形式 $\det\Xi$ は、$\mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_q[\theta])$ に対してタイプ 1、重量 $1 + q + \cdots + q^{r-1}$ の、どこでも消えない単一尖点モジュラー形式である。
• $\det\Xi$ は無限遠点で正則であり、非消滅的である。これは、重量 $1 + q + \cdots + q^{r-1}$ のモジュラー形式空間内での $\tau(\det\Xi)$ の非消滅性により証明される。
• $\mathbb{F}_q[\theta]$ 上の任意ランクのドリンフェルト・モジュラー形式に対して、de Rham コホロロジーから Betti コホロロジーへのサイクル類写像は同型である。
• ベクトル的イーゼンスタイン級数 $\mathcal{E}_1 = (\epsilon_r, \dots, \epsilon_1)^{tr}$ は $\Omega^r$ 上でどこでも消えず、その成分は $\mathbb{F}_q[t]$-線形独立である。
• $k_1 + \cdots + k_r < 1 + q + \cdots + q^{r-1}$ かつ各 $k_i \equiv 1 \pmod{q-1}$ である場合、$\det[\mathcal{E}_{k_1} \cdots \mathcal{E}_{k_r}] = 0$ となり、低重量における線形従属性を示す。
• ランク 2 において、すべての単一尖点形式は $\det[\mathcal{E}_1 \; \mathcal{E}_{1+k(q-1)}]$ の形に表れるため、高ランクへの一般化が可能性である。