[論文レビュー] The length of chains in algebraic lattices

Ilham Chakir, Maurice Pouzet|ArXiv.org|Dec 11, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数的ラティスにおける鎖の長さとそのコンパクト元の結合半ラティスの構造の関係を調査する。任意の順序型 α に対して、代数的ラティス L に型 I(α) の鎖が存在しないことは、K(L) に特定の結合部分半ラティスが存在しないことによって特徴づけられ、その禁止部分半ラティスの数は 2^|α| 以下である。可算な α に対しては、有限の特徴づけが存在すると著者らは予想する。

ABSTRACT

We study how the existence in an algebraic lattice $L$ of a chain of a given type is reflected in the join-semilattice $K(L)$ of its compact elements. We show that for every chain $α$ of size $κ$, there is a set $\B$ of at most $2^κ$ join-semilattices, each one having a least element such that an algebraic lattice $L$ contains no chain of order type $I(α)$ if and only if the join-semilattice $K(L)$ of its compact elements contains no join-subsemilattice isomorphic to a member of $\B$. We show that among the join-subsemilattices of $[ω]^{

研究の動機と目的

• 代数的ラティス L における与えられた順序型 α の鎖の存在または非存在が、そのコンパクト元の結合半ラティス K(L) にどのように反映されるかを特定すること。
• 順序型に最小元をもつ結合半ラティスを用いて、半順序集合のイデアルラティスに関する結果を代数的ラティスへ一般化すること。
• 可算な順序型 α に対して、K(L) に型 I(α) の鎖が存在しないことを特徴づける有限個の禁止結合部分半ラティスが存在するかを調査すること。
• Ω(α′) などの結合半ラティスの構造的性質と、それらがイデアルラティスへの鎖の埋め込みに果たす役割を調査すること。

提案手法

• 著者らは最小元をもつ結合半ラティスのクラス 𝕁 を定義し、ℬ の元と同型な結合部分半ラティスを含まないものを Forb(ℬ) と表記する。
• J(P) に型 I(α) の鎖を含まないような結合半ラティス P のクラス 𝕁_¬α を導入し、|ℬ| ≤ 2^|α| となる ℬ ⊆ 𝕁 が存在して 𝕬_¬α = Forb(ℬ) が成り立つことを示した。
• 鎖のシエルピンスキー化と単調埋め込みを用いて、Ω(α′) のような特定の結合半ラティスを構成し、これらが特定の鎖型に対して普遍的であることを示した。
• α = ωα′ + n かつ n < ω のとき、S_α = Ω(α′) ⊕ n とおき、Q_α = I_<ω(S_α) が、α および ω の任意のシエルピンスキー化 S に対して I_<ω(S) に埋め込まれることを証明した。
• Q_α ∈ 𝕬_α であり、埋め込みが有限結合を保存することを示し、K(L) の構造と L 内の長鎖の存在を結びつけた。
• 特に、[11] におけるシエルピンスキー化と埋め込みに関する既知の結果に依拠し、Ω(α′) が ωα′ および ω の任意のシエルピンスキー化に埋め込まれることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた順序型 α に対して、K(L) に存在しない結合部分半ラティスの最小集合は何か？ その集合が、代数的ラティス L に型 I(α) の鎖が存在しないことを特徴づける。
• RQ2 α が可算である場合に、2^|α| 個の禁止部分半ラティスの上限を、有限集合に改善できるか？
• RQ3 鎖のシエルピンスキー化は、半順序集合のイデアルラティスへの結合半ラティスの埋め込みとどのように関係するか？
• RQ4 Ω(α′) や関連構成の構造的性質は、鎖型を特徴づける普遍性を保証するためにどのように寄与するか？
• RQ5 与えられた α に対して、すべての他の禁止部分半ラティスに埋め込める、標準的な結合部分半ラティスが存在するか？

主な発見

• 任意の順序型 α に対して、クラス 𝕁 に属する結合半ラティスの集合 ℬ が存在し、|ℬ| ≤ 2^|α| であり、代数的ラティス L が型 I(α) の鎖を含まないことは、K(L) が ℬ の任意の要素と同型な結合部分半ラティスを含まないことと同値である。
• α = ω* の場合、禁止族 ℬ に属する [ω]^{<ω} の結合部分半ラティスのうち、1 つがすべての他のものに埋め込めることが示され、これは標準的な最小障害であることを示唆する。
• α = ω または有限の場合、禁止族 ℬ は唯一の要素、すなわち α′ をもつ鎖 α = 1 + α′ で構成され、この場合には構造がより単純であることが示された。
• α = ω* または η の場合、禁止族 ℬ は正確に 2 つの要素、すなわち α と Ω(α) から成り、[11] で知られている結果が新しい設定でも確認された。
• S_α = Ω(α′) ⊕ n とおき、Q_α = I_<ω(S_α) が、α および ω の任意のシエルピンスキー化 S に対して I_<ω(S) に埋め込まれること、かつ Q_α ∈ 𝕬_α であることが示された。これにより、このような構造が J(P) に I(α) の存在を検出するのに十分であることが証明された。
• 著者らは、α が可算であるならば、有限個の集合 ℬ で十分であると予想しており、2^|α| の上限を強化する可能性を示唆している。