[論文レビュー] The Levels of Quasiperiodic Functions on the plane, Hamiltonian Systems and Topology

S. P. Novikov|ArXiv.org|Sep 28, 1999

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4つの独立周波数を持つ平面上の準周期関数の等高線集合の位相的構造を調査し、定秩2のポアソン括弧をもつ(n+2)次元トーラス上のハミルトニアン系との関連を確立する。このような関数の開かつ稠密な族に対して、位相的完全可積分性を証明し、新たな整数値で局所安定な位相的不変量を同定する。これは、従来の3周期関数に関する研究を4周期の場合に拡張し、準結晶や固体物理学への応用を示唆する。

ABSTRACT

Topology of levels of the quasiperiodic functions with m=n+2 periods on the plane is studied. For the case of functions with m=4 periods full description is obtained for the open everywhere dense family of functions. This problem is equivalent to the study of Hamiltonian systems on the (n+2)-torus with constant rank 2 Poisson bracket. In the cases under investigation we proved that this system is topologically completely integrable in some natural sence where interesting integer-valued locally stable topological characteristics appear. The case of 3 periods has been extensively studied last years by the present author, Zorich, Dynnikov and Maltsev for the needs of solid state physics (''Galvanomagnetic Phenomena in Normal Metals''); The case of 4 periods might be useful for Quasicrystals.

研究の動機と目的

• 平面上の4つの独立周波数をもつ準周期関数の等高線集合の位相的性質を分析すること。
• このような関数と定秩2のポアソン括弧をもつ(n+2)次元トーラス上のハミルトニアン系との対応関係を確立すること。
• この系に生じる整数値で局所安定な位相的不変量を同定・特徴づけること。
• 従来の3周期関数に関する結果（金属中のガルバノ磁気効果に関連）を4周期の場合に拡張すること。
• 4周期の場合の位相的性質が、準結晶の数学的モデル化にどのように関連するかを検討すること。

提案手法

• m = n+2周期の準周期関数と、定秩2のポアソン構造をもつ(n+2)次元トーラス上のハミルトニアン系との同値性を利用する。
• 微分位相幾何学および力学系の道具を用いて、これらの関数の等高線集合のグローバル構造を研究する。
• 位相的不変量の安定性と不変性に基づく自然な意味での位相的完全可積分性の概念を採用する。
• 4周期の準周期関数の開かつ稠密な族を分析し、完全な位相的分類を導出する。
• 可積分系およびポアソン幾何学の枠組みを用いて、等高線集合の位相的型を特徴づける。
• Novikov, Zorich, Dynnikov, Maltsevらの3周期関数に関する先行研究の結果を、4周期への拡張の基盤として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の4つの独立周波数をもつ準周期関数の等高線集合の位相的構造はいかなるものか？
• RQ2 定秩2のポアソン括弧をもつ(n+2)次元トーラス上のハミルトニアン系の流れは、このような関数の等高線集合とどのように関連するか？
• RQ3 4周期の場合に現れる整数値で局所安定な位相的不変量は何か？ そして、微小摂動のもとでどのように保存されるか？
• RQ4 位相的および力学的挙動の観点から、4周期の場合は従来の3周期の場合とどのように類似または相違するか？
• RQ5 この位相的分類の結果が、準結晶や金属中のガルバノ磁気効果の物理的モデルに与える影響は何か？

主な発見

• 平面上の4周期の準周期関数の開かつ稠密な族に対して、その等高線集合の位相的構造が完全に記述できる。
• 定秩2のポアソン括弧をもつ(n+2)次元トーラス上の対応するハミルトニアン系は、自然な意味で位相的完全可積分である。
• 4周期の場合には、非自明な整数値の位相的不変量が現れ、微小摂動に対しても局所的に安定である。
• 従来の3周期関数に関する結果を一般化するものであり、これは通常の金属におけるガルバノ磁気効果を動機としていた。
• 4周期の場合が、準結晶の数学的記述において実用的である可能性が同定された。
• 本研究では、等高線集合の位相的型と、ポアソン構造から導かれる不変量との明確な対応関係を確立した。