[論文レビュー] The Liar and Related Paradoxes: Fuzzy Truth Value Assignment for Collections of Self-Referential Sentences

Kostis Vezerides, Athanasios Kehagias|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2003

Advanced Algebra and Logic参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己言及文（例：自己言及のパラドックス）の集合に対して一貫した真偽値を割り当てるためのファジィ論理フレームワークを提案する。この問題を非線形方程式系の解法に還元することで、弱い条件下でも[0,1]^M内に一貫した解が常に存在することを証明し、その解を計算するためのアルゴリズムを導入。ファジィ真偽値により、古典的な0/1真偽値のジレンマを避けることで、パラドックスが解消されることを示している。

ABSTRACT

We study self-referential sentences of the type related to the Liar paradox. In particular, we consider the problem of assigning consistent fuzzy truth values to collections of self-referential sentences. We show that the problem can be reduced to the solution of a system of nonlinear equations. Furthermore, we prove that, under mild conditions, such a system always has a solution (i.e. a consistent truth value assignment) and that, for a particular implementation of logical ``and'', ``or'' and ``negation'', the ``mid-point'' solution is always consistent. Next we turn to computational issues and present several truth-value assignment algorithms; we argue that these algorithms can be understood as generalized sequential reasoning. In an Appendix we present a large number of examples of self-referential collections (including the Liar and the Strengthened Liar), we formulate the corresponding truth value equations and solve them analytically and/ or numerically.

研究の動機と目的

• 自己言及のパラドックス（例：自己言及のパラドックスや強化された自己言及のパラドックス）を、古典的な2値真偽値ではなく、一貫したファジィ真偽値を割り当てることで解消すること。
• 一貫した真偽値割り当ての問題を非線形方程式系として形式化すること。
• 弱い連続性条件のもとで、このような方程式系に解が常に存在することを示すこと。
• ファジィ論理フレームワークにおける一貫した真偽値割り当てを求めるための計算アルゴリズムの開発と評価。
• 有限の真偽値集合を用いることで、古典的論理と無限値論理の中間としての限界的合理性（bounded rationality）の意味を検討すること。

提案手法

• 自己言及文に適用される論理結合子（AND、OR、NOT）に基づいて導出された非線形代数方程式系に、一貫した真偽値割り当て問題を還元する。
• 弱い条件下でも一貫性が保証される特定のファジィ論理演算子の実装（特に中点解法）を用いる。
• ニュートン・ラプソン法や最小化に基づく最適化法などの標準的な数値根の探索手法を用いて非線形方程式系を解く。
• 制御理論にインspiredされたアルゴリズムを導入し、収束速度、安定性、および心理的妥当性のバランスをとる。
• 論理式を[0,1]内の真偽値に写像する真偽関数Tr(·)を用い、2値評価ではなく連続的評価を可能にする。
• 自己言及のパラドックス、強化された自己言及のパラドックス、および二元論的文のペアを含む多数の例に対して、解析的および数値的解法によるアプローチの妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い連続性条件下で、任意の自己言及文の集合は[0,1]^M内に少なくとも1つの一貫したファジィ真偽値割り当てをもつのか？
• RQ2 ファジィ論理演算から導かれる非線形方程式系は、常に解をもち、一貫性が保証されるのか？
• RQ3 ニュートン・ラプソン法、最小化法、制御理論にインスパイアされたアルゴリズムなどの異なる計算アルゴリズムは、収束性、速度、妥当性の観点でどのように比較されるか？
• RQ4 特定のファジィ論理演算子の実装のもとで、中点解（すべての真偽値が0.5に設定）は常に一貫性を持つのか？
• RQ5 このフレームワークは、人間の推論における限界的合理性をよりよくモデル化するため、有限の真偽値集合に拡張可能か？

主な発見

• 弱い連続性条件下で、任意の自己言及文の集合は[0,1]^M内に少なくとも1つの一貫したファジィ真偽値割り当てをもつ。
• 特定のファジィ論理演算子の実装において、中点解（すべての真偽値を0.5に設定）は常に一貫性を持つ。
• 自己言及文同士の論理的関係から導かれる非線形方程式系は、少なくとも1つの解をもつことが保証される。
• 数値実験の結果、制御理論にインスパイアされたアルゴリズムが収束速度、安定性、心理的妥当性のバランスを良好に達成していることが示された。
• 本手法により、自己言及のパラドックスや強化された自己言及のパラドックスといった古典的パラドックスが、非2値真偽値の割り当てにより解消され、0/1の矛盾を回避できることを示した。
• このフレームワークは有限の真偽値集合へ拡張可能であるが、ゼロ不整合解の存在は保証されないため、限界的合理性に関する新たな研究分野が開かれた。