[論文レビュー] The Lie Algebra Rank Condition for Non-Bilinear Quantum System

Domenico D’Alessandro|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、SU(n) 上でのユニタリな時間発展演像によって記述される非双線形量子系に対して、Lie代数ランク条件（LARC）が完全な可制御性を保証することを確立している。双線形性を仮定しない場合でも、到達可能な状態が制御ハミルトニアンが生成するLie代数の指数写像と一致することを示しており、これは、コンパクトなLie群における密度および近傍生成の位相的・代数的議論を用いて達成されている。

ABSTRACT

The controllability condition for finite dimensional quantum systems, the Lie Algebra Rank Condition, has been stated assuming that the right invariant differential system under consideration is bilinear. We remark that this assumption is not necessary and discuss the extension to the general case.

研究の動機と目的

• 双線形でない制御依存ハミルトニアンを有する一般の非双線形制御系へ、Lie代数ランク条件（LARC）の適用範囲を拡張すること。
• 系のハミルトニアンが制御変数に関して線形でない場合に、LARCが依然として有効であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 非双線形形式であっても、ユニタリ時間発展演像の到達可能な集合が、制御ハミルトニアンが生成する連結Lie群 eᴸ に一致することを証明すること。
• U(n) のコンパクト性と陰関数定理を用いた近傍生成に関する議論を組み合わせ、自己完結的な証明を提供すること。

提案手法

• 系を、ヒルベルト空間上の右不変なユニタリ時間発展とみなす。制御依存ハミルトニアン H(u₁,…,uₘ) はエルミートであるものとする。
• すべての制御値 u ∈ U を通じて、iH(u₁,…,uₘ) の実数線形包としてLie代数 L を構成する。
• 到達可能な集合 R が、eᴸ に含まれる半群であることを証明する。
• 任意の群元を有限個の生成子の指数写像の積として表現し、コンパクト性を用いて負時間発展演像を近似することで、R が eᴸ に密であることを示す。
• パラメータ依存写像 Φ を構成し、(1,…,1) におけるヤコビアンが 0 でないことを示すことで、R が恒等元の近傍を含むことを証明する。陰関数定理を用いる。
• R が連結群 eᴸ 内の恒等元の近傍を含む半群であることを踏まえ、R = eᴸ が成り立つと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双線形制御ハミルトニアンを有する量子系において、Lie代数ランク条件（LARC）は可制御性を保証するか？
• RQ2 非双線形量子系の到達可能な集合は、依然として制御ハミルトニアンが生成する連結Lie群 eᴸ に一致するか？
• RQ3 標準的なLARCの証明において、双線形性の仮定は必要か？
• RQ4 系が非双線形である場合、任意の eᴸ 要素に到達するための区分定数制御をどのように構成できるか？
• RQ5 コンパクトなLie群および陰関数定理を用いた位相的議論により、双線形性がなくても完全な可制御性を証明できるか？

主な発見

• 量子系 (1) の到達可能な集合 R は、Lie代数 L が生成する連結Lie群 eᴸ に等しい。これは、ハミルトニアンが制御変数に関して双線形でない場合でも成り立つ。
• 証明は、R が eᴸ に密であることと、恒等元の近傍を含むことの両方が示されることに依存しており、半群性質により R = eᴸ が導かれる。
• R が eᴸ に密であることは、任意の群元を生成子の指数写像の有限積として表現し、コンパクト性を用いて負時間発展演像を近似することで確立される。
• 恒等元の近傍が R に存在することは、ヤコビアンが (1,…,1) で 0 でないパラメータ依存写像 Φ に陰関数定理を適用することで証明される。
• 写像 Φ の構成および V₁,…,Vₙ の選択により、偏導関数がLie代数を張り、ヤコビアンが非退化であることが保証される。
• 一般にコンパクトなLie群の連結部分群に対して、U(n) に限らず、この結果は成り立つ。これは、一般のコンパクト性および位相的議論を用いているためである。