[論文レビュー] The Lie algebra Structure and Nonlinear Controllability of Spin Systems

Francesca Albertini, Domenico D’Alessandro|ArXiv.org|Jun 20, 2001

Magnetism in coordination complexes参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、スピン相互作用を表すグラフの連結性と系のリー代数構造を結びつけることで、電磁場中におけるスピン1/2粒子ネットワークの非線形可制御性の必要十分条件を確立する。異なる gyromagnetic 比率を持つ系では、状態可制御性と発展演算子可制御性が同値であるが、同じ比率を持つ系では反例により、状態可制御性が演算子可制御性を意味しないことが示され、対称パラメータ下での制御概念の根本的差異が明らかになる。

ABSTRACT

In this paper, we study the controllability properties and the Lie algebra structure of networks of particles with spin immersed in an electro-magnetic field. We relate the Lie algebra structure to the properties of a graph whose nodes represent the particles and an edge connects two nodes if and only if the interaction between the two corresponding particles is active. For networks with different gyromagnetic ratios, we provide a necessary and sufficient condition of controllability in terms of the properties of the above mentioned graph and describe the Lie algebra structure in every case. For these systems all the controllability notions, including the possibility of driving the evolution operator and/or the state, are equivalent. For general networks (with possibly equal gyromagnetic ratios), we give a sufficient condition of controllability. A general form of interaction among the particles is assumed which includes both Ising and Heisenberg models as special cases. Assuming Heisenberg interaction we provide an analysis of low dimensional cases (number of particles less then or equal to three) which include necessary and sufficient controllability conditions as well as a study of their Lie algebra structure. This also, provides an example of quantum mechanical systems where controllability of the state is verified while controllability of the evolution operator is not.

研究の動機と目的

• 電磁場制御下におけるスピン1/2粒子ネットワークのリー代数構造を分析すること。
• 相互作用グラフの位相に基づいて、可制御性の必要十分条件を特定すること。
• 特に gyromagnetic 比率が等しい場合に、状態可制御性と発展演算子可制御性の関係を明確にすること。
• 等方的（ヘイゼンベルグ型）相互作用を有する低次元系（≤3粒子）の完全な特徴付けを提供すること。
• 状態可制御性は成立するが演算子可制御性は成立しない場合を特定し、制御概念の同値性に疑問を呈すること。

提案手法

• 系をスカラー行列のリー代数に属するハミルトニアンをもつシュレーディンガー方程式に従う双線形量子制御系としてモデル化する。
• ノードが粒子を、エッジが非ゼロのスピンスピン結合を表すグラフを定義し、リー代数構造とグラフの連結性を結びつける。
• 制御部分代数補題を用いて、相互作用タイプに基づき、全リー代数を物理的に解釈可能な成分に分解する。
• リー群および代数論の結果を適用し、生成されたリー代数が su(2^n) に等しいか、それより真に小さい部分代数であるかを同定する。
• 低次元系（n ≤ 3）を、交換関係およびカルタン分解を用いて明示的に解析し、同型（例：sp(4)）を特定する。
• 交換子閉包に基づくテストを用いて、生成された代数が結合パラメータに応じて sp(4) または su(8) に同型であるかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン1/2粒子ネットワークが異なる gyromagnetic 比率を持つ場合、相互作用グラフのどのような条件下で可制御性が成立するか？
• RQ2 スピン系において、状態可制御性と発展演算子可制御性がいつ同値となるか？
• RQ3 状態可制御性は成立するが演算子可制御性は成立しない系が存在するか？ もし存在するならば、どのようなパrameter 条件下で成立するか？
• RQ4 ヘイゼンベルグ型相互作用を有する小さなスピンネットワーク（n ≤ 3）の完全なリー代数構造は何か？
• RQ5 同じ gyromagnetic 比率が存在する場合、可制御性の階層構造およびリー代数構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• すべての gyromagnetic 比率が異なるスピン系では、可制御性は相互作用グラフが連結であることと同値であり、リー代数は su(2^n) に同型である。
• gyromagnetic 比率がすべて同一でない場合、状態可制御性と演算子可制御性の同値性は崩れる。これは、リー代数が sp(4) に同型であるが su(8) に同型でない反例によって示される。
• 等方的（ヘイゼンベルグ型）相互作用を有する3粒子系で J12 = 0 の場合、系は状態可制御性を有する（L ≅ sp(4)）が、演算子可制御性は持たない。これは厳密な階層構造を示している。
• リー代数構造は、カルタン分解を形成する4つの部分空間（M, C̃, N, R）に分解可能であり、これにより sp(4) 同型が裏付けられる。
• 相互作用グラフの連結性に基づく、一般の十分条件が、gyromagnetic 比率が等しくても可制御性を導出可能である。
• 局所制御とスピン相互作用から生成される制御部分代数は、全リー代数を特定する上で中心的な役割を果たし、閉包性および同型性の検証に用いられる。