[論文レビュー] The Lieb-Liniger model at the critical point as toy model for Black Holes

Mischa Panchenko|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Relativity and Gravitational Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ギャップレスなスペクトルとボーズ・アインシュタイン凝縮に類似した振る舞いを示すため、量子臨界点における引力的Lieb-Liniger模型を、ブラックホールの実験的可視化に適した模型として提案する。低エネルギー領域におけるモード $a_0, a_{\pm1}$ 支援の新しい対角化技術を用いて、エネルギーギャップの $N^{-1/3}$ スケーリングを解析的に導出し、$N \to \infty$ の極限で基底状態の完全な枯渇が生じることを示した。これにより、ブラックホールに類似した量子臨界性が裏付けられた。

ABSTRACT

In a previous series of papers it was proposed that black holes can be understood as Bose-Einstein condensates at the critical point of a quantum phase transition. Therefore other bosonic systems with quantum criticalities, such as the Lieb-Liniger model with attractive interactions, could possibly be used as toy models for black holes. Even such simple models are hard to analyse, as mean field theory usually breaks down at the critical point. Very few analytic results are known. In this paper we present a method of studying such systems at quantum critical points analytically. We will be able to find explicit expressions for the low energy spectrum of the Lieb-Liniger model and thereby to confirm the expected black hole like properties of such systems. This opens up an exciting possibility of constructing and studying black hole like systems in the laboratory.

研究の動機と目的

• 量子臨界点における引力的Lieb-Liniger模型を、取り扱いやすく解析的に解けるブラックホール物理学の模型として確立すること。
• 臨界点における平均場理論およびボゴリューボフ理論の破綻を克服するため、有限次元ハミルトニアンに対する新しい対角化法を開発すること。
• 臨界結合定数 $\alpha = 1$ における系の低エネルギースペクトル、エネルギーギャップのスケーリング、および基底状態の性質を解析的に決定すること。
• ギャップレスモードの出現と、ブラックホールの類縁体と整合する臨界スケーリング行動の確認。
• 将来の量子臨界ボソン系実験における定量的予測を可能にすること。

提案手法

• ハミルトニアンを $a_0, a_{\pm1}$ モードが支配する低エネルギー領域に制限し、有限次元行列ハミルトニアンを構成する。
• 臨界結合定数 $\alpha = 1$ における相互作用ハミルトニアンを対角化するための $1/N$ の新しい摂動論を構築する。
• 連続場表現を用いて、三モード系を、$\alpha=1$ におけるポテンシャル $V(r) = \frac{7\alpha}{32N}r^4$ を持つ2次元等方的四次元振動子に写像する。
• 非相互作用部分にボゴリューボフ変換を適用し、$N \to \infty$ の極限でギャップが消える臨界点を分析する。
• 高運動量モードが $N$ が大きい極限に於いて分離することを示し、低エネルギー領域への切断が正当化されることを示す。
• 解析的結果を数値計算と照合し、スケーリング行動および固有状態構造の妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 引力的Lieb-Liniger模型が臨界点 $\alpha = 1$ に於いて、ブラックホールの類縁体と整合するギャップレスな低エネルギースペクトルを示すか？
• RQ2 臨界領域における粒子数 $N$ に対するエネルギーギャップの解析的スケーリングは何か？
• RQ3 基底状態の枯渇は $N$ に対してどのようにスケーリングされ、熱力学的極限で完全な枯渇に近づくか？
• RQ4 新しい摂動的対角化法により、臨界点における低エネルギースペクトルの正確な式が得られるか？
• RQ5 系の低エネルギー力学は2次元純粋四次元振動子と等価であるか？ これはスペクトル的性質に何を意味するか？

主な発見

• 臨界点においては、$a_0, a_{\pm1}$ モードのみが低エネルギースペクトルに寄与し、低次元への切断が正当化される。
• 隣接する低エネルギー固有状態間のエネルギーギャップは $N^{-1/3}$ スケーリングに従い、$N \to \infty$ の極限でギャップレスになることが確認された。
• $N \to \infty$ の極限で基底状態は完全に枯渇し、その枯渇は $N^{1/3}$ スケーリングに従う。
• 新しい摂動論を用いて、$1/N$ の1次までで基底状態の明示的解析的表現が得られた。
• 臨界点における系は2次元等方的純粋四次元振動子と等価であり、この写像によりそのスペクトル的性質が明らかにされた。
• 高運動量モードは $N$ が大きい極限に於いて分離し、低エネルギー有効記述の正当性が裏付けられた。