[論文レビュー] The Lifshits--Krein trace formula and operator Lipschitz functions

V. V. Peller|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、自己共役作用素 A および B に対して A−B がトレースクラスにあるとき、Lifshits–Krein トレース公式が成り立つための必要十分条件が、関数 f が作用素リプシッツであることであることを確立している。証明は二重作用素積分、シュール乗数、およびスペクトルシフト関数を用い、作用素リプシッツ関数は、トレースクラスの摂動に対してトレース公式が普遍的に成り立つ関数の集合であることを示している。

ABSTRACT

We describe the maximal class of functions $f$ on the real line, for which the Lifshitz--Krein trace formula $\operatorname{trace}(f(A)-f(B))=\int_{\Bbb R} f'(s)\boldsymbolξ(s)\,ds$ holds for arbitrary self-adjoint operators $A$ and $B$ with $A-B$ in the trace class $\boldsymbol{S}_1$. We prove that this class of functions coincide with the class of operator Lipschitz functions.

研究の動機と目的

• A−B がトレースクラス S₁ にあるすべての自己共役作用素 A および B に対して Lifshits–Krein トレース公式が成り立つような関数 f の最大クラスを同定すること。
• Krein が提起した疑問、すなわち、すべてのリプシッツ関数に対してトレース公式が成り立つかどうかを解決し、成り立たないことを示すこと。
• トレースクラスの摂動に対してトレース公式が普遍的に成り立つために、作用素リプシッツ関数が必要かつ十分であることを確立すること。
• 二重作用素積分を介して、トレース公式をシュール乗数および Haagerup テンソル積の理論と結びつけること。
• 作用素リプシッツ関数 f に対して、t に関する関数 trace(f(A−tI)−f(B−tI)) の連続性を証明すること。

提案手法

• x≠y のとき 𝔻f(x,y) = (f(x)−f(y))/(x−y)、x=y のとき f′(x) と定義される差分商 𝔻f(x,y) を導入し、これが作用素リプシッツ関数を特徴付ける。
• 作用素リプシッツ性と、差分商 𝔻f が S₁ 上のシュール乗数であることの同値性を用いる。
• 二重作用素積分の理論を用いて、Aₜ = A + tK のときの f(Aₜ) の微分をヒルベルト＝シュミットノルムで表現すること。
• 微分 Qₜ = d/dt [f(Aₜ)−f(A)] が S₁ に属し、トレースノルムにおいて一様有界であることを確立すること。
• S₁ 上のボッハナー積分を用いて f(A)−f(B) = −∫₀¹ Qₜ dt を書き、trace(f(A)−f(B)) = −∫₀¹ trace(Qₜ) dt を得ること。
• 定理 5.1 を適用し、trace(Qₜ) を ∫ℝ f′(x) dνₜ(x) として表現する。ここで νₜ は Aₜ のスペクトル射影に関する K のスペクトル測度である。
• 平均化された測度 ν = ∫₀¹ νₜ dt を定義し、ν = −ξ dm であることを示し、これによりトレース公式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A−B ∈ S₁ を満たすすべての自己共役 A, B に対して Lifshits–Krein トレース公式が成り立つような関数 f はどれか？
• RQ2 トレース公式が成り立つ関数のクラスは、リプシッツ関数のクラスよりも厳密に小さいか？
• RQ3 トレースクラスの摂動に対してトレース公式が普遍的に成り立つために、作用素リプシッツ性が必要かつ十分か？
• RQ4 すべての such f に対して、trace(f(A)−f(B)) が f′(s) をスペクトルシフト関数 ξ(s) に対して積分として表現できるか？
• RQ5 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI)) の連続性は、f の作用素リプシッツ性とどのように関係するか？

主な発見

• A−B ∈ S₁ を満たすすべての自己共役 A, B に対して Lifshits–Krein トレース公式が成り立つのは、f が作用素リプシッツであるときかつそのときに限る。
• 作用素リプシッツ関数は ℝ 全体で微分可能であるが、必ずしも C¹ ではない。例として x²sin(x⁻¹) が含まれる。
• 差分商 𝔻f が S₁ 上のシュール乗数であることは、f が作用素リプシッツであることと同値である。
• f ∈ OL(ℝ) のとき、すべての such A, B に対して、トレース公式 trace(f(A)−f(B)) = ∫ℝ f′(s)ξ(s) ds が普遍的に成り立つ。
• 任意の f ∈ OL(ℝ) に対して、t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI)) は ℝ 上で連続であり、これはスペクトル測度の弱-* 連続性に起因する。