[論文レビュー] The limit distribution of ratios of jumps and sums of jumps of subordinators

Péter Kevei, M Mason David|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$ t \downarrow 0 $ もしくは $ t \to \infty $ の下で、ジャンプとトリムム和を含む比 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ および $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ の極限分布に関する必要十分条件を確立する。主な結果は、Lévy測度の尾部 $ \overline{\Lambda} $ の正則変動性が漸近的挙動を決定することを示しており、正則変動の指数またはゼロまたは無限大における急変動性に応じて、ベータ分布、退化極限、あるいは発散する極限に収束する。

ABSTRACT

Let $V_{t}$ be a driftless subordinator, and let denote $m_{t}^{(1)} \geq m_{t}^{(2)} \geq\ldots$ its jump sequence on interval $[0,t]$. Put $V_{t}^{(k)} = V_{t} - m_{t}^{(1)} - \ldots- m_{t}^{(k)}$ for the $k$-trimmed subordinator. In this note we characterize under what conditions the limiting distribution of the ratios $V_{t}^{(k)} / m_{t}^{(k+1)}$ and $m_{t}^{(k+1)} / m_{t}^{(k)}$ exist, as $t \downarrow0$ or $t o\infty$.

研究の動機と目的

• ドリフトなしの部分順序過程において、$ t \downarrow 0 $ もしくは $ t \to \infty $ の下で比 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ の極限分布を特定すること。
• 同じ漸近的状況において、連続する順序付きジャンプ $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $（$ k \geq 1 $）の極限挙動を特徴づけること。
• 分布収束のためのLévy測度の尾部 $ \overline{\Lambda} $ に対する必要十分条件を、正則変動およびタウバリアン型の議論を用いて確立すること。
• 無限大のジャンプ活動を有する部分順序過程に対して、i.i.d. 非負確率変数に関する古典的結果を拡張すること。

提案手法

• Laplace変換とLévy測度の尾部 $ \overline{\Lambda}(x) = \Lambda((x,\infty)) $ の漸近的解析を用いて、極限分布を導出する。
• 正則変動理論およびタウバリアン定理を応用し、ジャンプ比の収束を特徴づける。
• ジャンプサイズの漸近的挙動とLévy測度 $ \Pi $ の尾部を関連付けるために、関数 $ \psi(s) = \sup\{y : \overline{\Pi}(y) > s\} $ を導入する。
• 正則変動性を検証するため、$ \overline{\Pi}(z_{n+1}) / \overline{\Pi}(z_n) \to 1 $ となるように、$ \mathcal{A} $ 内の厳密に単調減少列 $ \{z_n\} \subset \mathcal{A} $ で $ z_n \to 0 $ を満たすものを構成する。
• 逆関数 $ \psi $ を用いて、$ S_k $ をi.i.d.指数分布に従う確率変数の和とするときの比 $ r_k(t) = \psi(S_{k+1}/t) / \psi(S_k/t) $ を分析する。
• BinghamおよびTeugels（1987）の定理1.7.1を応用し、$ \psi $ の漸近的挙動と $ \overline{\Pi} $ の正則変動性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy測度の尾部 $ \overline{\Lambda} $ がどのような条件下で、$ t \downarrow 0 $ または $ t \to \infty $ の下で $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ が分布収束するか？
• RQ2 連続するジャンプの比 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ が非退化極限に収束するのはいつか？ その極限分布は何か？
• RQ3 $ \overline{\Lambda} $ の正則変動指数によって、ジャンプ比の極限挙動を完全に特徴づけられるか？ また、緩やかに変動する場合や急激に変動する場合の挙動は？
• RQ4 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ の極限分布が欠損的（すなわち、$ \mathbb{P}(W_k = \infty) \in (0,1) $）であることは可能か、それとも不可能か？
• RQ5 比 $ r_k(t) = \psi(S_{k+1}/t)/\psi(S_k/t) $ の漸近的挙動は $ \overline{\Pi} $ の変動クラスとどのように関係するか？ それぞれに対応する極限分布は何か？

主な発見

• Lévy測度の尾部 $ \overline{\Lambda} $ がゼロまたは無限大において正則変動的（指数 $ -\alpha \in (-1,0) $）であれば、比 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ は適切な確率変数に分布収束する。そのLaplace変換は $ g_k(\lambda) = \exp(-\lambda) / \left[1 + \alpha \int_0^1 (1 - e^{-\lambda y}) y^{-\alpha-1} dy \right]^{k+1} $ で与えられる。
• もし $ \overline{\Lambda} $ がゼロまたは無限大において緩やかに変動するならば、$ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} \to 1 $ 出来確率1で成立する。つまり、極限は1に退化する。
• もし $ x \downarrow 0 $ または $ x \to \infty $ の下で $ \frac{x \overline{\Lambda}(x)}{\int_0^x u \Lambda(du)} \to 0 $ ならば、$ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} \to \infty $ 確率的に成立する。つまり、極限は確率1で無限大である。
• もし $ \overline{\Pi} $ がゼロまたは無限大において正則変動的（指数 $ -\alpha \in (-\infty, 0) $）であれば、比 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ は分布収束してベータ分布 $ \text{Beta}(k\alpha, 1) $ に収束する。その累積分布関数は $ x \in [0,1] $ に対して $ G_k(x) = x^{k\alpha} $ である。
• もし $ \overline{\Pi} $ がゼロまたは無限大において緩やかに変動するならば、$ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} \to 0 $ 出来確率1で成立する。
• もし $ \overline{\Pi} $ がゼロまたは無限大において指数 $ -\infty $ の急激な変動を示すならば、$ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} \to 1 $ 出来確率1で成立する。