[論文レビュー] The Limit of the Empirical Measure of the Product of Two Independent Mallows Permutations

Ke Jin|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2つの独立なMallows置換の経験測度が、特定の密度を持つ極限確率測度にほとんど確実に弱収束することを確立する。$ n(1 - q_n) \to \beta $ の条件下での漸近的解析により、極限密度が2つのMallows型密度の畳み込みとして得られ、確率的置換理論における積測度収束の非自明な例を提供する。

ABSTRACT

The Mallows measure is a probability measure on $S_n$ where the probability of a permutation $π$ is proportional to $q^{l(π)}$ with $q > 0$ being a parameter and $l(π)$ the number of inversions in $π$. We show the convergence of the random empirical measure of the product of two independent permutations drawn from the Mallows measure, when $q$ is a function of $n$ and $n(1-q)$ has limit in $\mathbb{R}$ as $n o \infty$.

研究の動機と目的

• n \to \infty のとき、2つの独立なMallows置換の積から誘導される経験測度の弱収束を確立すること。
• n(1 - q_n) \to \beta \in \mathbb{R} の領域において、積置換の極限確率測度を特徴づけること。
• 単一のMallows置換に関する既存の結果を積のケースに拡張し、明示的な極限挙動を示す非i.i.d.置換モデルの新クラスを提供すること。
• 2つの独立なMallows置換における最長共通部分列を研究するための理論的基盤を提供すること。
• 経験測度が弱収束する条件を、一般の確率的置換極限に関する根本的問題に触発されて探求すること。

提案手法

• q_n が 1 に $ 1 - \frac{\beta}{n} $ のレートで近づくとき、S_n 上のMallows測度の漸近的挙動を分析する。
• 単一のMallows置換の極限分布として、Starrの結果から得られる明示的密度 u(x, y, \beta) を用いる。
• 関数 f(\frac{\pi(i)}{n}) の期待値および共分散に対する一様なバウンドを用いた、モーメント収束に基づく新規なアプローチを適用する。
• \pi, \tau がパラメータ q_n, q_n' の独立なMallows置換である積置換 \tau \circ \pi のための極限密度 \rho(x, y) = \int_0^1 u(x, t, \beta) \cdot u(t, y, \gamma) \, dt を導出する。
• 期待値の一様収束および共分散の消滅を証明することで、経験測度の弱収束を確立する。
• Mallows測度の代数的・確率的構造を活用する、鍵となる補題および命題（補題1, 補題2, 補題3, 命題3）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n(1 - q_n) \to \beta のもとで、2つの独立なMallows置換の積の経験測度が n \to \infty のとき弱収束するか？
• RQ2 スケーリング極限における積置換の明示的極限確率測度の形は何か？
• RQ3 極限測度は、2つのMallows置換の個別極限密度の畳み込みとして表現可能か？
• RQ4 個々の置換が既知の極限に収束する場合に、積置換の経験測度が弱収束する条件は何か？
• RQ5 単一のMallows置換の経験測度の弱収束はほとんど確実に成立するのか、それとも確率的にのみ成立するのか？

主な発見

• パラメータ q_n, q_n' の独立なMallows置換 \pi, \tau に対して、積 \tau \circ \pi の経験測度は、密度 \rho(x, y) = \int_0^1 u(x, t, \beta) \cdot u(t, y, \gamma) \, dt を持つ極限測度に確率的に弱収束する。
• 極限密度 \rho(x, y) は、個別極限密度 u(x, y, \beta) と u(x, y, \gamma) の合成であり、対称群の群構造を反映している。
• 任意の連続関数 f: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R} に対して、正規化された和 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left( \frac{i}{n}, \frac{\tau \circ \pi(i)}{n} \right) は、\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \rho(x, y) \, dx \, dy に確率的に収束する。
• 収束はインデックス i に関して一様であり、i \neq j のとき f(\pi(i)/n) と f(\pi(j)/n) の共分散は一様に消えるため、漸近的に無相関であることが示される。
• 本結果は、個々の置換が独立であっても、従属な確率的置換の積に対する弱収束の非自明な例を提供する。
• 極限測度 \rho(x, y) は \beta = \gamma = 0 の場合を除き積測度でないため、極限において非自明な依存関係が存在することが示される。