[論文レビュー] The limit to rarefaction wave with vacuum for 1D compressible fluids with temperature-dependent viscosities

Mingjie Li, Teng Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、温度に依存する粘性係数と熱伝導度を有する1次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のゼロ散乱限界を確立し、粘性係数と熱伝導度が消える際、解が真空を伴う圧縮波に収束することを証明している。収束は一様であり、真の事前推定を用いて、真空中の特異性を考慮した収束速度が明示的に評価されている。

ABSTRACT

In this paper we study the zero dissipation limit of the one-dimensional full compressible Navier-Stokes(CNS) equations with temperature-dependent viscosity and heat-conduction coefficient. It is proved that given a rarefaction wave with one-side vacuum state to the full compressible Euler equations, we can construct a sequence of solutions to the full CNS equations which converge to the above rarefaction wave with vacuum as the viscosity and the heat conduction coefficient tend to zero. Moreover, the uniform convergence rate is obtained. The main difficulty in our proof lies in the degeneracies of the density, the temperature and the temperature-dependent viscosities at the vacuum region in the zero dissipation limit.

研究の動機と目的

• 温度に依存する粘性係数と熱伝導度を有する完全な圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のゼロ散乱限界を正当化すること。
• 片側が真空である圧縮波解への粘性解の収束を分析すること。
• ゼロ散乱限界の過程で真空中の密度、温度、粘性係数の退化を克服すること。
• 真空状態に起因する特異性と退化を伴う状況下でも一様収束速度を確立すること。
• 物理的で温度に依存する粘性係数および熱伝導度係数を有する完全な圧縮流体系へのゼロ散乱限界の有効性を拡張すること。

提案手法

• εμ(θ) = θ^α および εκ(θ) = θ^α を用いて、完全な圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を解くことにより、真空を伴う圧縮波に対する粘性近似を構築すること。
• 問題をラグランジュ座標系における移動境界問題に還元するため、ラグランジュ変換を用いること。
• 重み付きソボレフ空間における事前推定を用いて、真空中での解の挙動を制御すること。
• 精密な補間および重み付き L^2 推定を用いて、解およびその導関数の一様な有界性を確立すること。
• 一致する漸近解析とエネルギー推定を用いて、事前推定の仮定を検証し、局所解を時間的に大域的解に拡張すること。
• L^∞ 範囲と ε における対数補正を用いて、粘性解と極限の圧縮波との比較により収束速度を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 温度に依存する粘性係数および熱伝導度を有する完全な圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、ゼロ散乱限界を正当化できるか？
• RQ2 粘性係数および温度の退化が生じる真空中で、解はどのように振る舞うか？
• RQ3 ε → 0^+ のとき、粘性解が真空を伴う圧縮波に一様に収束する速度は何か？
• RQ4 真空を伴う初期データを有する粘性系に対して、解の大域的存在を確立できるか？
• RQ5 温度に依存する粘性係数および熱伝導度は、ゼロ散乱限界の収束性および安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 完全な圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の粘性解は、粘性係数および熱伝導度係数がゼロに近づくにつれて、真空を伴う圧縮波に一様に収束する。
• 収束速度が一様に ε^a |ln ε| のオーダーで確立され、ここで a = (24γ + 16α(γ-1) - 3)/(12(18γ + 12α(γ-1))) であり、γ > 1 は断熱指数、α > 0 は温度依存指数である。
• ε > 0 が小さいが固定されている場合、粘性系の解の大域的存在が証明され、事前推定を用いて局所解を無限時間にまで拡張している。
• 真空中の密度、温度、粘性係数の退化は、重み付きエネルギー推定および補間技術を用いて処理されている。
• 運動量および全エネルギーの収束も、同じ速度で成立することが示され、状態変数の完全な収束が確認された。
• 事前推定は初期仮定を上回る強さを持っており、時間的に局所解を大域的解に拡張することが可能である。