[論文レビュー] The limiting absorption principle for the discrete Wigner-von Neumann operator

Marc-Adrien Mandich|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、重み付きモアール理論を用いて、Wigner-von Neumann型ポテンシャルと長距離ポテンシャルの和による摂動を受けるZ^d上の離散シュレーディンガー作用素に対して、制限吸収原理（LAP）を確立する。古典的モアール理論は、Wigner-von Neumann型ポテンシャルの特異性のため失敗するが、著者らは重み付きコンmutator推定とほぼ解析的拡張に基づく新しいアプローチを開発する。主な結果は、古典的モアール推定が失敗するスペクトル区間においてLAPを証明することであり、これは純粋な絶対連続スペクトルおよび力学の局所的減衰推定を示唆する。

ABSTRACT

We apply weighted Mourre commutator theory to prove the limiting absorption principle for the discrete Schr{\"o}dinger operator perturbed by the sum of a Wigner-von Neumann and long-range type potential. In particular, this implies a new result concerning the absolutely continuous spectrum for these operators even for the one-dimensional operator. We show that methods of classical Mourre theory based on differential inequalities and on the generator of dilation cannot apply to the mentionned Schr{\"o}dinger operators.

研究の動機と目的

• Z^d上での離散シュレーディンガー作用素に対して、Wigner-von Neumann型ポテンシャルおよび長距離ポテンシャルを含む場合の制限吸収原理（LAP）を確立すること。
• 微分不等式や拡大生成子に依存する古典的モアール理論が、Wigner-von Neumann型ポテンシャルに対して成立しない理由を克服すること。
• 古典的手法よりも弱い条件下でLAPを証明するために、重み付きモアール理論を発展・適用し、長距離摂動の研究を可能にすること。
• 作用素のスペクトルが特定の区間で純粋に絶対連続的であること、および力学の局所的減衰推定が成り立つことを示すこと。

提案手法

• H = Δ + W + Vのスペクトル的性質を分析するために、重み付きモアールコンmutator理論を用いる。ここでWはWigner-von Neumann型ポテンシャル、Vは長距離ポテンシャルである。
• 拡大の生成子としての共役作用素Aを、μl^2(Z^d)上のシフト作用素および位置作用素を用いて定義する。
• クラスS_ρに属する関数のほぼ解析的拡張を用いて、スペクトル射影子およびリゾルベントを表現し、作用素論における複素解析の応用を可能にする。
• ポテンシャルおよび誤差作用素を含む[ H - z, A ]のコンmutatorを分解し、Vの減衰条件を用いてそれらを制御することで、投影型重み付きモアール推定を得る。
• スペクトル定理およびWirtinger微分を用いた積分表現を用いて、φ(H)やその導関数といった作用素をリゾルベントおよびほぼ解析的拡張で表現する。
• ρ ≥ 0のS_ρに属するゆっくり成長する関数を取り扱うために、切断関数θ_Rを用いた極限的議論を用い、強作用素位相における積分表現の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wigner-von Neumann型ポテンシャルおよび長距離ポテンシャルを有する離散シュレーディンガー作用素に対して、制限吸収原理が確立可能か？
• RQ2 微分不等式や拡大生成子に依存する古典的モアール理論の手法が、このクラスの作用素に対してなぜ失敗するのか？
• RQ3 古典的手法が失敗する状況において、LAPを証明するための代替的枠組みは何か？
• RQ4 LAPが成立するこの設定において、スペクトルの性質（例えばスペクトルの種別）や解の減衰性といった、どのような物理的・数学的性質が導かれるか？
• RQ5 重み付きモアール理論は、特異ポテンシャルを有する離散作用素にどのように適合可能か？

主な発見

• 離散シュレーディンガー作用素H = Δ + W + Vは、I1 ⊂ µ(H)である区間において制限吸収原理が成立する。ここでµ(H)は、d=1における臨界エネルギーE±(k)またはd≥2におけるそれらの対称的対応物を除く。
• 正の定数c = C/(3R) > 0を伴う投影型重み付きモアール推定が証明され、これによりLAPが成立し、重み付きリゾルベントに一様有界性が保証される。
• 局所的減衰推定∫_R ||xNy^s e^{-itH} P^K θ(H)u||^2 dt ≤ C||u||^2がすべてのs > 1/2およびu ∈ Hに対して成り立つ。これは、特異連続スペクトルの不在および波束の拡散を確認する。
• 作用素Hのスペクトルは、P^Kが消える任意のコンパクト区間I1 ⊂ I上で純粋に絶対連続的であり、埋め込まれた固有値や特異連続スペクトルは存在しない。
• 本手法は、Wigner-von Neumann型ポテンシャルを効果的に扱うことができ、古典的モアールコンミュータ条件[ V, A ] ∈ B(H)を満たさないため、標準的モアール理論がこのポテンシャルに対して失敗することを証明する。
• 同様のスペクトル的性質およびLAPの有効性が、座標ごとの積で定義される代替的Wigner-von Neumann型ポテンシャルW'に対しても成立し、対応する集合µ(H1)上に有効である。