[論文レビュー] The limiting behavior of the Liu-Yau quasi-local energy

Pin Yu|ArXiv.org|Jun 7, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は一般相対性理論におけるリウ＝ヨウの局所的エネルギーの極限的挙動を分析し、小球極限において物質のエネルギー密度を正しく回復すること、および光的無限遠点におけるボンディ質量／エネルギー損失を正しく再現することを示している。しかしながら真空中では、小球極限において予期しない余分な項が現れる。これは参照埋め込みへの感受性を示唆するが、大球極限は既知の結果と物理的に整合的である。

ABSTRACT

The small- and large-sphere limits of the quasi-local energy recently proposed by Liu and Yau are carefully examined. It is shown that in the small-sphere limit, the non-vacuum limit of the Liu-Yau quasi-local energy approaches the expected value \frac{4π}{3} r^3 T(e_0, e_0)$. Here, T is the energy-stress tensor of matter, e_0 \in T_p M is unit time-like and future-directed at the point p located at the center of the small sphere of radius $r$ in the limit r o 0. In vacuum, however, the limiting value of the Liu-Yau quasi-local energy contains the desired limit \frac{r^5}{90} B(e_0, e_0, e_0, e_0), where B is the Bel-Robinson tensor, as well as an extra term. In the large-sphere limit at null infinity, for isolated gravitational sources, the Liu-Yau quasi-local energy is shown to recover the Bondi mass and Bondi news flux, in space-times that are asymptotically empty and flat at null infinity. The physical validity of the Liu-Yau model in view of these results is discussed.

研究の動機と目的

• 局所的エネルギーの物理的妥当性を、その極限的挙動の検討によって評価すること。
• 局所的エネルギーが、小球や光的無限遠点における大球といった極限状態において、既知の物理的量に正しく還元されるかどうかを検証すること。
• リウ＝ヨウの構成における参照埋め込みの役割、特に真空中の小球極限における役割を調査すること。
• C-計量をテストケースとして用いて、非孤立な重力源への局所的エネルギーの一般化の可能性を検討すること。

提案手法

• 点 p の周りでの正規座標とテイラー展開を用いた、小球極限におけるリウ＝ヨウの局所的エネルギーの解析的計算。
• 2次元表面 S の埋め込みを定義するための光錐基準時空の使用。
• 特に真空中における小球極限の特異的挙動を扱うために、ブロー・アップ技術の適用。
• 漸近的に平坦な時空における光的無限遠点における大球極限の評価を行い、ボンディ質量とニュースフラックスとを比較。
• 非孤立源のモデルとして C-計量を用い、非真空中・非漸近平坦な状況における局所的エネルギーの適用可能性をテスト。
• 小球展開の主要項を比較するために、ベル＝ロビンソンテンソルとエネルギー運動量テンソルの使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非真空中の小球極限において、リウ＝ヨウの局所的エネルギーは期待される物質エネルギー密度を正しく回復するか？
• RQ2 放射する漸近平坦時空におけるボンディ質量およびエネルギー損失が、リウ＝ヨウの局所的エネルギーによって正しく再現されるか？
• RQ3 真空中の小球極限において、既知のベル＝ロビンソン寄与を超えて余分な項が現れる理由は何か？
• RQ4 参照埋め込みの選択が、リウ＝ヨウの局所的エネルギーの小球極限に与える影響は何か？
• RQ5 リウ＝ヨウの局所的エネルギーは、C-計量のような非孤立な重力源へ意味的に一般化可能か？

主な発見

• 非真空中の小球極限において、リウ＝ヨウの局所的エネルギーは期待される値 $\frac{4\pi}{3}r^{3}{\mathfrak{T}}(e_{0},e_{0})$ に近づく。ここで ${\mathfrak{T}}$ はエネルギー運動量テンソルであり、$e_0$ は中心における単位未来時空的ベクトルである。
• 真空中の小球極限において、主項は $\frac{r^{5}}{90}{\mathfrak{B}}(e_{0},e_{0},e_{0},e_{0})$ である。ここで ${\mathfrak{B}}$ はベル＝ロビンソンテンソルであるが、標準的な期待とは異なる余分な項が現れる。
• 真空中の小球極限における余分な項は、リウ＝ヨウの構成が参照埋め込みの選択に依存することに起因し、埋め込み方式への感受性を示唆している。
• 漸近平坦時空における光的無限遠点における大球極限では、リウ＝ヨウの局所的エネルギーは正しくボンディ質量およびニュースフラックスを回復し、標準的な重力的エネルギー損失と整合的であることが確認された。
• C-計量の分析から、非孤立源は大球極限の評価に技術的課題をもたらすことが判明した。これは複数の座標チャートの必要性に起因し、ボンディ量の実際の評価が困難になる。
• 真空中の余分な項が存在するが、既知の物理的極限との全体的な整合性から、リウ＝ヨウモデルは物理的に妥当であると示唆される。ただし、埋め込み依存性はさらなる検討を要する。