[論文レビュー] The limiting distributions of large heavy Wigner and arbitrary random matrices

Male, Camille|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、交通分布と自由積を用いて、大規模な重いウィグナー行列と任意の確率行列の極限同時∗-分布を確立し、極限が任意行列の∗-分布だけでなく、それ以上の構造に依存することを示している。明示的な組合せ公式と再帰関係が得られ、特に任意行列が対角行列の場合に焦点を当て、単一の重いウィグナー行列の固有値分布をシュヴィンガー＝ダイソン方程式系によって新たな形で特徴づけている。

ABSTRACT

The model of heavy Wigner matrices generalizes the classical ensemble of Wigner matrices: the sub-diagonal entries are independent, identically distributed along to and out of the diagonal, and the moments its entries are of order 1/N, where N is the size of the matrices. Adjacency matrices of Erd\"os-Renyi sparse graphs and matrices with properly truncated heavy tailed entries are examples of heavy Wigner matrices. We consider a family X_N of independent heavy Wigner matrices and a family Y_N of arbitrary random matrices, independent of X_N, with a technical condition (e.g. the matrices of Y_N are deterministic and uniformly bounded in operator norm, or are deterministic diagonal). We characterize the possible limiting joint *-distributions of (X_N,Y_N) in the sense of free probability. We find that they depend on more than the *-distribution of Y_N. We use the notion of distributions of traffics and their free product to quantify the information needed on Y_N and to infer the limiting distribution of (X_N,Y_N). We give an explicit combinatorial formula for joint moments of heavy Wigner and independent random matrices. When the matrices of Y_N are diagonal, we give recursion formulas for these moments. We deduce a new characterization of the limiting eigenvalues distribution of a single heavy Wigner.

研究の動機と目的

• 大規模な重いウィグナー行列と任意の確率行列の極限同時∗-分布を自由確率論の文脈で特徴づけること。
• 極限分布が任意行列の∗-分布だけでなく、交通分布などの追加構造に依存することを示すこと。
• 任意行列族から必要な情報を定量化するため、交通漸近的自由性と自由積を用いたフレームワークを構築すること。
• 特に任意行列が対角行列の場合に、同時∗-モーメントの明示的な組合せ公式と再帰関係を導出すること。
• モーメント制約から導かれる方程式系を用いて、単一の重いウィグナー行列の固有値分布を新たな形で特徴づけること。

提案手法

• 古典的∗-分布を超える行列族の漸近的挙動をモデル化するため、交通分布およびその自由積の概念を導入する。
• YNのモーメントと有界性に関する弱い仮定の下で、(XN, YN)の交通分布における収束を交通漸近的自由性を用いて確立する。
• 語の分解とグラフ上の経路数え上げに基づく再帰的構造を用いて、(XN, YN)の同時∗-モーメントの明示的組合せ公式を導出する。
• YN が対角行列の場合、語の重みと経路配置によってインデックス付けられた部分構造にモーメント生成構造を分解することで、同時モーメントの再帰公式を構築する。
• モーメント制約から導かれるシュヴィンガー＝ダイソン方程式系を用いて、単一の重いウィグナー行列の極限スペクトル分布を特徴づける。
• ハムバーグの定理を用いて、重いウィグナー行列のパラメータ (ak)k≥1 が、すべてのモーメントが有限なBorel測度のモーメントとして正当化されることを特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重いウィグナー行列と任意の確率行列の極限同時∗-分布は、任意行列の∗-分布を超えて、その構造にどのように依存するか。
• RQ2 大規模な重いウィグナー行列と任意の確率行列の同時∗-モーメントを支配する組合せ的構造は何か。
• RQ3 単一の重いウィグナー行列の固有値分布は、モーメント制約から導かれる方程式系によって特徴づけられるか。
• RQ4 交通分布およびその自由積は、重い尾を持つエントリを有する行列族の漸近的挙動を捉えるために果たす役割は何か。
• RQ5 重いウィグナー行列と任意の確率行列の漸近的自由性が、任意行列の∗-分布のみでは決定できない条件は何か。

主な発見

• 極限同時∗-分布 (XN, YN) は YN の∗-分布に加え、その交通分布にも依存しており、古典的自由確率論を越えたより豊かな構造を必要とする。
• 語の重みと部分語分解によってインデックス付けられた整数分割および経路配置の和を含む、(XN, YN) の同時∗-モーメントの明示的組合せ公式が導出された。
• YN が対角行列である場合、語の重みと経路配置に基づく部分構造への分解を用いて、同時モーメントの再帰公式が確立され、高次モーメントの体系的計算が可能になった。
• 単一の重いウィグナー行列のスペクトルは、モーメント制約から導かれるシュヴィンガー＝ダイソン方程式系によって特徴づけられ、新たな解析的記述が得られた。
• 重いウィグナー行列のパラメータ (ak)k≥1 はハムバーグのモーメント条件を満たす必要があり、これは (ak−1)k≥1 がすべてのモーメントが有限なBorel測度の偶数次モーメントであることを意味する。
• 誤った自由性（false freeness）の性質が同定された：XN と YN は古典的意味での漸近的∗-自由ではないが、交通フレームワーク下では依然としてモーメント解放の形を満たす。