[論文レビュー] The Limits of Depth Reduction for Arithmetic Formulas: It's all about the top fan-in

Mrinal Kumar, Shubhangi Saraf|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、上位ファンイン $ o(\log n) $ の均一な深さ4の算術回路に対して、改善された深さ還元技術を用いて、初めての超多項式下界を確立する。さらに、上位ファンインが $ \Omega(\log n) $ のとき、深さ還元は改善できないことが示され、深さ還元とシフトされた部分導関数の組み合わせによる手法が、一般の算術式の下界を示すには不十分であることが示唆される。

ABSTRACT

In recent years, a very exciting and promising method for proving lower bounds for arithmetic circuits has been proposed. This method combines the method of {\it depth reduction} developed in the works of Agrawal-Vinay [AV08], Koiran [Koi12] and Tavenas [Tav13], and the use of the shifted partial derivative complexity measure developed in the works of Kayal [Kay12] and Gupta et al [GKKS13a]. These results inspired a flurry of other beautiful results and strong lower bounds for various classes of arithmetic circuits, in particular a recent work of Kayal et al [KSS13] showing superpolynomial lower bounds for {\it regular} arithmetic formulas via an {\it improved depth reduction} for these formulas. It was left as an intriguing question if these methods could prove superpolynomial lower bounds for general (homogeneous) arithmetic formulas, and if so this would indeed be a breakthrough in arithmetic circuit complexity. In this paper we study the power and limitations of depth reduction and shifted partial derivatives for arithmetic formulas. We do it via studying the class of depth 4 homogeneous arithmetic circuits. We show: (1) the first {\it superpolynomial lower bounds} for the class of homogeneous depth 4 circuits with top fan-in $o(\log n)$. The core of our result is to show {\it improved depth reduction} for these circuits. (2) We show that improved depth reduction {\it is not possible} when the top fan-in is $Ω(\log n)$. In particular this shows that the depth reduction procedure of Koiran and Tavenas [Koi12, Tav13] cannot be improved even for homogeneous formulas, thus strengthening the results of Fournier et al [FLMS13] who showed that depth reduction is tight for circuits, and answering some of the main open questions of [KSS13, FLMS13].

研究の動機と目的

• 均一な深さ4算術回路に対して、上位ファンインが有界である場合の超多項式下界を確立すること。
• 一般の算術式に対して、深さ還元技術とシフトされた部分導関数法を組み合わせた手法の限界を調査すること。
• 上位ファンインが $ \Omega(\log n) $ のとき、均一な式に対して改善された深さ還元が可能かどうかを特定すること。
• 先行研究における深さ還元のタイトネスと $ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[t]} $ 回路の下界に関する未解決問題を解決すること。
• これらの結果が、特に一般の均一な式に対する下界を示す算術回路複雑度理論に与える影響を調査すること。

提案手法

• 上位ファンイン $ o(\log n) $ の均一な深さ4回路に対する改善された深さ還元手順を導入し、より強い下界を可能にする。
• 構築された多項式の部分導関数のランクを分析するために、シフトされた部分導関数複雑度測度を適用する。
• 上位ファンインが少なくとも $ n^{\Omega(n/t)} $ である $ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[t/20]} $ 回路を必要とする多項式族 $ \mathcal{P}_{t,n} $ を構築する。
• 変数係数を用いたこれらの多項式の線形結合を用いて、$ \omega(\log n) \leq a \leq n/800 $ の $ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[a]} $ 回路による効率的計算を妨げる単一の多項式 $ \mathcal{Q}_n $ を構築する。
• 補間と射影の議論を用いて、$ \mathcal{Q}_n $ を計算するいかなる回路も、上位ファンインが $ 2^{\Omega(n \log n / a)} $ 以上でなければならないことを示す。
• 上位ファンインが $ \Omega(\log n) $ のとき、深さ還元がタイトであることを証明し、さらなる改善が不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 改善された深さ還元とシフトされた部分導関数を用いて、上位ファンイン $ o(\log n) $ の均一な深さ4回路に対して超多項式下界を証明できるか？
• RQ2 既知の境界を超えて、均一な算術式のための深さ還元手順を改善することは可能か？
• RQ3 一般の算術式の下界を証明する際、深さ還元と組み合わせたシフトされた部分導関数法の限界は何か？
• RQ4 $ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[\log n]} $ 回路に対して非自明な下界を確立できるか。これは重要な中間クラスである。
• RQ5 KoiranとTavenasの深さ還元技法は、均一な式においてもタイトであるか、それ以上最適化可能か？

主な発見

• 本稿は、上位ファンイン $ o(\log n) $ の均一な深さ4回路に対して、初めての超多項式下界を確立し、特に $ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[t/20]} $ 回路に対して $ 2^{\Omega(n \log n / t)} $ の下界を示している。
• 上位ファンインが $ \Omega(\log n) $ のとき、改善された深さ還元は不可能であることが証明され、Koiran-Tavenasの深さ還元が均一な式に対してもタイトであることが示された。
• 多項式族 $ \mathcal{Q}_n $ の構築により、$ \omega(\log n) \leq a \leq n/800 $ の範囲で、$ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[a]} $ 回路が $ \mathcal{Q}_n $ を計算するには、上位ファンインが少なくとも $ 2^{\Omega(n \log n / a)} $ 以上でなければならないことが示された。
• これらの結果は、現在の深さ還元とシフトされた部分導関数の枠組みが、一般の（均一な）算術式の超多項式下界を示すには不十分であることを示唆する。
• 本稿は、[KSS13] と [FLMS13] における未解決問題を解決し、深さ還元が既知の境界を超えて改善できないこと、均一な場合でさえも同様であることを示している。
• $ \Sigma\Pi\Sigma\Pi^{[t]} $ 公式に関する階層定理が示唆され、上位ファンインを増加させることで、より強力な表現力が得られることを示唆している。