[論文レビュー] The linear complexity of new binary cyclotomic sequences of period $p^n$

Vladimir Edemskiy|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、奇素数 $p$ および $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ を満たす条件下で、周期 $p^n$ の新しい二値循環的系列の線形複雑度に関するシャオらの予想を証明する。$p^n$ を法とする原始根に基づく一般化された循環的類を用いて、線形複雑度の正確な公式を導出する：$2 \in D_0^{(p)}$ の場合、$L = p^n - \frac{p-1}{2} - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$ であり、そうでない場合は $L = p^n - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$ である。この結果は、周期に近い高い線形複雑度を示している。

ABSTRACT

In this paper, we determine the linear complexity of a class of new binary cyclotomic sequences of period pn constructed by Z. Xiao et al. (Des. Codes Cryptogr. DOI 10.1007/s10623-017-0408-7) and prove their conjecture about high linear complexity of these sequences.

研究の動機と目的

• 周期 $p^n$ の新しい二値循環的系列の線形複雑度に関するシャオらの予想を解消すること。
• 条件 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ の下で、これらの系列の線形複雑度の正確な公式を確立すること。
• これらの系列が高線形複雑度を有することを示し、ストリーム暗号などの暗号的応用に適していることを示すこと。
• 一般化された循環的系列に関する先行結果を、$p^n$ の高い累乗へと統一的な代数的枠組みで拡張すること。

提案手法

• 原始根 modulo $p^2$ を用いた $d_j = \varphi(p^j)/e$ 階の一般化された循環的類に基づき、二値系列を構築する。
• 巡回的類の陪類を用いて、特徴的集合 $\mathcal{C}_0^{(p^n)}$ と $\mathcal{C}_1^{(p^n)}$ を定義し、シフトパラメータ $b$ と $f=2^r$ を導入する。
• 生成多項式 $S(x)$ の $\mathbb{F}_2$ 上の根を分析することで、ベルレカンプ・マシー・アルゴリズムの枠組みを適用する。
• トレースの性質と同次多項式 $T^{(p^m)}_i(x)$ を用いて、$\mathbb{F}_2(\alpha_{m-1})$ から $\mathbb{F}_2(\alpha_m)$ への根の再帰的リフトを実行する。
• 帰納法と体拡張次数の議論を用いて、$[\mathbb{F}_2(\alpha_m) : \mathbb{F}_2(\alpha_{m-1})] < p$ を示し、$2 \in D_0^{(p)}$ の条件を満たさない限り矛盾が生じることを示す。
• 既知の $\mathbb{F}_2(\alpha_1)$ 上の $T^{(p)}_i(x)$ の結果を活用し、$p^n$ の高次レベルへの根の数の拡張を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャオらが構築した周期 $p^n$ の新しい二値循環的系列の正確な線形複雑度は何か？
• RQ2 条件 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ の下で、これらの系列が高線形複雑度を有するという予想は正しいか？
• RQ3 2 がゼロ番目の循環的類 $D_0^{(p)}$ に属するかどうかが線形複雑度に与える影響は何か？
• RQ4 線形複雑度は、$p^n$、$p$、および $(p^n+1)/2$ の偶奇性に基づいて一様に表現可能か？
• RQ5 パラメータ $f=2^r$ は、系列の構造と複雑度にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 2 \in D_0^{(p)} の場合、系列の線形複雑度は $L = p^n - \frac{p-1}{2} - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$ である。ここで $\delta(t) = 1$ は $t$ が偶数のとき、0 は奇数のときである。
• 2 \not\in D_0^{(p)} の場合、線形複雑度は $L = p^n - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$ である。$p^n+1$ が偶数の場合、複雑度が著しく低下することが示される。
• 線形複雑度は常に $p^n - \frac{p-1}{2}$ 以上であり、これは周期 $p^n$ に非常に近いことから、強い暗号的強度を示している。
• 証明は、$T^{(p^n)}_b(\alpha_n^i) \in \{0,1\}$ となるインデックス $i$ の数が、2 の循環的類への属性に依存して制御可能であることを示すことに依存している。
• この結果は、1093 と 3511 の2つの既知のヴィーフェリッヒ素数を除き、$p < 6.7 \times 10^{15}$ のすべての奇素数 $p$ に対して成り立つ。
• 解析により、系列はほぼバランスが取れており、$|\mathcal{C}_1^{(p^n)}| = (p^n + 1)/2$ であることが確認され、与えられた条件下で線形複雑度が最大化されていることが示された。