[論文レビュー] The linear Tur\'an number of the k-fan

Zoltán Füredi, András Gyárfás|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$k$-ファン超図形の正確な線形タラン数を確立し、$n$ 個の頂点を持つ $k$-一様線形超図形で $k$-ファン部分超図形を含まない場合の最大辺数が $n^2/k^2$ であることを証明している。これは $n \equiv 0 \pmod{k}$ かつ超図形が $k$ 個のグループを持つ横断的設計である場合にのみ達成される。さらに、$k=3$ の場合の極値構成を同定し、$P$ や $C_{14}$ などの禁止構成に対しても結果を拡張し、これらの構成を除外しても線形タラン数が $n^2/9$ のまま保たれることを示している。

ABSTRACT

A hypergraph is linear if any two edges intersect in at most one vertex. For a fixed $k$-uniform family ${\\cal{F}}$ of hypergraphs, the linear Tur\\'an number ${\ m ex}_{\ m lin}(n,{\\cal{F}})$ is the maximum number of edges in a $k$-uniform linear hypergraph $\\mathcal H$ on $n$ vertices that does not contain any member of ${\\cal{F}}$ as a subhypergraph. For $k\\ge 2$ the $k$-fan $F^k$ is the $k$-uniform linear hypergraph having $k$ edges $f_1,\\dots,f_k$ pairwise intersecting in the same vertex $v$ and an additional edge $g$ intersecting all $f_i$ in a vertex different from $v$. We prove the following extension of Mantel's theorem $${\ m ex}_{\ m lin}(n,F^k)\\le {n^2 / k^2}.$$ Moreover, $|{\\mathcal H}|=n^2/k^2$ holds if and only if $n\\equiv 0\\pmod k$ and $\\mathcal H$ is a transversal design on $n$ points with $k$ groups. We also study ${\ m ex}_{\ m lin}(n,{\\cal{F}})$ where $\\cal{F}$ is any subset of the three linear triple systems with four triples on at most seven points.

研究の動機と目的

• $k$-ファン超図形の正確な線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ を決定する。$k$-一様線形超図形で $k$ 個の辺が共通の頂点を共有し、追加の1つの辺がそれらすべてと異なる頂点で交わる構造である。
• この上限に達する極値超図形を同定し、$n \equiv 0 \pmod{k}$ 時に限り、$k$ 個の等しいサイズのグループを持つ横断的設計であることを示す。
• $k=3$ の場合の分析を拡張し、$n \equiv 2 \pmod{3}$ 時に $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$ を決定し、すべての極値三重系を同定する。
• $F^3$、$P$、$C_{14}$ の複数の構成を同時に禁止する場合の線形タラン数を調査し、無限に多くの $n$ に対して極値数が $n^2/9$ のまま保たれることを示す。

提案手法

• 超図形理論と辺の交差に関する二重数え上げを用いて、$\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ に対する上界 $n^2/k^2$ を証明する。
• 等号が成立するのは、極値超図形が $k$ 個のグループを持つ横断的設計 $T(n,k)$ である場合に限ることを示し、線形超図形の性質とグループ分割の性質を用いる。
• $n = k(m+1) - 1$ の場合、$\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k) \leq m^2 + m$ を証明する。これは $T(n+1,k)$ から得られる切断された横断的設計を用いる。
• 特に完全二部グラフ $K_{2^m,2^m}$ の1因子分解を用いたグラフ因子分解技法を用い、$F^3$、$P$、$C_{14}$ を避ける極値三重系を構成する。
• 標準的手法として、少なくとも $2/9$ の辺を含む3部超図形を選択し、線形タラン数と古典的タラン数を関連付ける。
• $n = 3 \cdot 2^m$ 時に $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P, C_{14}\}) = n^2/9$ であることを、既知のステイン三重系や構成に関する結果を活用して示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$-ファン超図形の正確な線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ の値は何か？
• RQ2 $n$ と $k$ がどのような値のときに、$\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ を達成する極値超図形が $k$ 個のグループを持つ横断的設計になるか？
• RQ3 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 時に、$\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$ の極値超図形を完全に同定できるか？
• RQ4 複数の小さな構成（$F^3$、$P$、$C_{14}$）を同時に禁止した場合の線形タラン数は何か？
• RQ5 禁止構成に対する線形タラン数と、$F(7,4)$ に対する古典的タラン数の関係は何か？

主な発見

• すべての $k \geq 2$ およびすべての $n$ に対して、線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ は $n^2/k^2$ で上から抑えられ、等号が成り立つのは $n \equiv 0 \pmod{k}$ かつ極値超図形が $k$ 個のグループを持つ横断的設計である場合に限る。
• $n = k(m+1) - 1$ 時、線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ は $m^2 + m$ 以下であり、極値超図形は $T(n+1,k)$ から得られる切断された横断的設計である。
• $n = 3m + 2$ 時、極値数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$ は正確に $m^2 + m$ であり、唯一の極値三重系は切断された横断的設計から得られるものまたは特定のグラフ拡張から得られるものである。
• $n = 6m + 3$ 時、線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P\})$ は $n^2/9$ に等しく、$P$ を禁止しても $F^3$-自由な上限を超えて極値数が減少しないことを示している。
• $n = 3 \cdot 2^m$ 時、線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, C_{14}\})$ は正確に $n^2/9$ であり、$K_{2^m,2^m}$ の1因子分解から構成された横断的設計によって達成される。
• 線形タラン数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P, C_{14}\})$ は $n^2/9$ に漸近的に等しく、これは $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{P, C_{14}\})$ の最大値（定数倍の誤差を除いて）とも一致し、$F(7,4)$ の古典的タラン数と関連している。