[論文レビュー] The linearity problem for the unitriangular automorphism groups of free groups

В. А. Романьков|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、自由群の単三角形自己同型群についての線形性問題を解決し、その群が体上の忠実な行列表現を持つのは、自由群のランクが3以下である場合に限ることを証明している。著者らはHNN拡大とFormanek–Procesiの手法を用いて、$ U_4 $ が線形でないことを示し、これにより $ n \geq 4 $ に対して $ U_n $ も線形でないことが従う。これにより、すべての相対的自由群における線形性の分類が完成する。

ABSTRACT

We prove that the unitriangular automorphism group of a free group of rank $n$ has a faithful representation by matrices over a field, or in other words, it is a linear group, if and only if $n \leq 3.$ Thus, we have completed a description of relatively free groups with linear the unitriangular automorphism groups. This description was initiated by Erofeev and the author in \cite{Erofeev}, where proper varieties of groups have been considered.

研究の動機と目的

• 単三角形自己同型群が線形であるような群の多様体の分類を完成させること。
• すべての群の多様体である場合に、単三角形自己同型群の線形性問題における残りの未解決事例を解消すること。
• $ U_n $、すなわち自由群 $ F_n $ の単三角形自己同型群が $ n \geq 4 $ に対して線形であるかどうかを特定すること。

提案手法

• 線形性の障害を分析するために、HNN拡大構成 $ \mathcal{H}(G) = \langle G \times G, t \mid t(g,g)t^{-1} = (1,g) \rangle $ を用いる。
• BrendleとHamidi-Tehraniの定理3.2を適用し、群が $ \mathcal{H}(F_2)/N $ という商へ写像可能で、かつ $ F_2 \times \{1\} $ の像が非可解的アーベル的有限性をもたない場合、その群は線形でないことを示す。
• 生成子 $ \lambda_{3,1}, \lambda_{3,2}, \lambda_{4,1}, \lambda_{4,2}, \lambda_{4,3} $ を用いて、$ \mathcal{H}(F_2) $ の商である部分群 $ H \leq U_4 $ を構成し、必要な関係式を検証する。
• $ H \cong \mathcal{H}(F_2)/N $ であり、$ F_2 \times \{1\} $ の像が非可解的アーベル的有限性をもたないことを示し、これにより $ U_4 $ が線形でないことを証明する。
• $ U_4' $、すなわち $ U_4 $ の導来群が $ W_4 = \langle \lambda_{3,j}, \lambda_{4,l} \mid j=1,2; l=1,2,3 \rangle $ に同型であることを示し、したがって $ U_4' $ は線形でないことを示す。
• 一般化して、$ n \geq 4 $ に対して $ \gamma_{n-2}(U_n) $、すなわち $ U_n $ の下部中心列の $ (n-2) $ 項目が線形でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの群の多様体に対して、自由群 $ F_n $ の単三角形自己同型群 $ U_n $ が線形であるか？
• RQ2 自由群 $ F_n $ の単三角形自己同型群 $ U_n $ は $ n \geq 4 $ に対して線形か？
• RQ3 $ U_3 $ が線形であるということは、すべての $ n \geq 4 $ に対して $ U_n $ が線形であることを示唆するのか？
• RQ4 導来群 $ U_n' $ の構造は何か？ そして $ n \geq 4 $ に対して線形か？
• RQ5 HNN拡大の商を用いて、$ U_n $ の非線形性を検出できるか？

主な発見

• 自由群 $ F_n $ の単三角形自己同型群 $ U_n $ は、$ n \leq 3 $ のときかつそのときに限り線形である。これにより、すべての相対的自由群における線形性の分類が完成する。
• 導来群 $ U_4' $ は線形でない。また、$ W_4 = \langle \lambda_{3,1}, \lambda_{3,2}, \lambda_{4,1}, \lambda_{4,2}, \lambda_{4,3} \rangle $ に同型であり、これは $ \mathcal{H}(F_2) $ の商であり、その $ F_2 \times \{1\} $ の像は非可解的アーベル的有限性をもたない。
• すべての $ n \geq 4 $ に対して、$ U_n $ の下部中心列の $ (n-2) $ 項目 $ \gamma_{n-2}(U_n) $ は線形でない。
• $ U_4' $ は $ U_4 $ における $ f_1 $ の安定化部分群でもあるため、この正規部分群が線形でないことが示される。
• この結果は、$ U_3 $ が線形であることから、$ n \geq 4 $ に対して $ U_n $ が線形であると一般化できるわけではないことを示しており、これはその可能性を否定する。
• 本論文は、$ U_n $ が線形であるのは $ n \leq m $ のときに限るような多様体 $ \mathcal{G}_m $ が存在すると予想している。ここで $ m \geq 3 $ である。