[論文レビュー] The Linearly Independent Non Orthogonal yet Energy Preserving (LINOEP) vectors

Pushpendra Singh, Shiv Dutt Joshi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Electron Spin Resonance Studies参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形独立（LI）なベクトルの集合を、ノルムの二乗（エネルギー）を保存する非直交なベクトルに変換する新しい変換法LINOEPを提案する。グラム・シュミットの直交化とは異なり、LINOEPは後退的再帰的係数割り当てによりエネルギー保存を実現し、内積空間におけるエネルギー保存のための複数の非直交解を可能にする。

ABSTRACT

It is well known that, in any inner product space, a set of linearly independent (LI) vectors can be transformed to a set of orthogonal vectors, spanning the same space, by the Gram-Schmidt Orthogonalization Method (GSOM). In this paper, we propose a transformation from a set of LI vectors to a set of LI non orthogonal yet energy (square of the norm) preserving (LINOEP) vectors in an inner product space and we refer it as LINOEP method. We also show that there are various solutions to preserve the square of the norm.

研究の動機と目的

• 線形独立（LI）なベクトルから、非直交的であるがエネルギーを保存するベクトルへの変換を内積空間で開発すること。
• 直交基底を超えたエネルギー保存の概念を拡張し、同じノルムエネルギーを持つ非直交なベクトル集合を許容すること。
• ベクトル分解における交差項内積を操作することにより、エネルギー保存のための複数の解を提供すること。
• 例えば、経験的モード分解（EMD）におけるエネルギー保存信号分解アルゴリズムの設計を支援すること。

提案手法

• 後退的再帰的変換を提案：k = 1 から n−1 まで、ck = yk − αk∑_{i=k+1}^n ci を定義し、cn = yn とする。
• 係数 αk を αk = ⟨yk, ∑_{i=k+1}^n ci⟩ / ⟨∑_{i=k+1}^n ci, ∑_{i=k+1}^n ci⟩ により決定し、ck とそれ以降のベクトルの和との直交性を保証する。
• エネルギー保存を維持するため、i = 1 から n−1 までに ⟨ci, ∑_{j=i+1}^n cj⟩ = 0 となる条件を課す。
• 方程式の和の代数的変形によりエネルギー保存を導出し、∥∑yi∥² = ∑∥ci∥² を示す。
• 正規化ステップとして直交射影を用い、最初の n ベクトルが LINOEP で、最後のベクトルがそれらの和に直交する (n+1)-ベクトル系を生成する。
• 複数の非直交的構成（例えば、ペアワイズ直交性、階層的直交性、バランスの取れた交差項キャンセリング）がエネルギーを保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形独立なベクトルの集合を、ノルムの二乗を保存する非直交なベクトルに変換することは可能か？
• RQ2 非直交なベクトル分解におけるエネルギー保存が成立するための構造的・代数的条件は何か？
• RQ3 与えられたLIなベクトル集合に対して、エネルギーを保存する異なる非直交なベクトル構成はいくつ存在するか？
• RQ4 LINOEP法は、非定常的かつ非線形信号処理におけるエネルギー保存信号分解をサポートするように一般化可能か？
• RQ5 交差項がキャンセルされつつも全エネルギーが保存されるような内積の数学的制約は何か？

主な発見

• LINOEP法は、n 個の線形独立なベクトルの集合を、ノルムの二乗を保存する n 個の非直交なベクトルに成功して変換する。
• 入力ベクトルの順序の置換不変性により、n! 個の異なるLINOEPベクトル集合が得られる。
• n = 3 の場合、エネルギーを保存するための7つの異なる解が存在し、ペアワイズ直交性、階層的直交性（例：c1 ⊥ c2 + c3）、バランスの取れた交差項キャンセリングを含む。
• エネルギー保存は完全な直交性ではなく、すべての交差項の和 ∑_{i≠j} ⟨ci, cj⟩ = 0 が満たされることによって達成される。
• 最初の n ベクトルが LINOEP で、(n+1) 番目のベクトルがそれらの和に直交する (n+1) ベクトル系を生成するように拡張可能であり、非直交的かつエネルギー保存的である。
• 変換は実および複素内積空間の両方で有効であり、複素数の場合には複数の解族が存在する可能性がある。