[論文レビュー] The link between the shape of the Aubry-Mather sets and their Lyapunov exponents

Marie-Claude Arnaud|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、正確なシンプレクティックねじれ写像におけるAubry-Mather集合の$C^1$-正則性とそのリャプノフ指数との間の直接的な幾何的・力学的関係を確立する。グリーンバンドルを用いて、ゼロでないリャプノフ指数が生じるのは、ほとんど everywhere で$C^1$-正則性が成り立たない場合に限ることを証明する。非ゼロの指数は$C^1$-不正則性に対応する。一様な双曲的集合は至る所で非正則であり、KAM曲線の周辺にある集合は僅かに不正則である。

ABSTRACT

We consider the irrational Aubry-Mather sets of an exact symplectic monotone twist map and explain what is the link between the Lyapunov exponents and the shape of such a set. The main tools that we use in the proofs are the so-called Green bundles.

研究の動機と目的

• Aubry-Mather集合に台を持つマーテル測度のリャプノフ指数に対する幾何的基準を確立すること。
• ブリュゴアン・パラティンジェント錐を用いて、Aubry-Mather集合の$C^1$-正則性を定義し、分析すること。
• シンプレクティックねじれ写像の不変集合における双曲的性と幾何的正則性の関係を明確にすること。
• KAM曲線の周辺にある集合が、たとえ$C^1$-正則でなくても、著しく不規則ではないことを示すこと。
• 一様双曲的性が、台の至る所での非正則性と同値であることを証明すること。

提案手法

• ブリュゴアン・パラティンジェント錐に基づく、Aubry-Mather集合の$C^1$-正則性の概念を導入する。
• 変分的およびシンプレクティック幾何学的手法を用いて、無理数的Aubry-Mather集合に沿ってグリーンバンドル$G_+$と$G_-$を構成する。
• グリーンバンドルの横断的性を用いて、双曲的性および非一様双曲的性を特徴付ける。
• グリーンバンドル間の角度とリャプノフ指数の符号との間の動的基準を適用する。
• グリーンバンドルの連続性および単調性の性質を用いて、正則性および双曲的性を分析する。
• $G_-$と$G_+$が接空間$P_M(x)$を包除することを用いて、台の幾何的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーテル測度のリャプノフ指数は、その台の$C^1$-正則性から特定できるか？
• RQ2 一様双曲的性を示すAubry-Mather集合の幾何的条件は何か？
• RQ3 台の正則性は、非一様双曲的性とどのように関係するか？
• RQ4 KAM曲線の周辺にあるAubry-Mather集合は、その不規則性において幾何的制約を受けるか？
• RQ5 グリーンバンドルの横断的性とリャプノフ指数の非ゼロ性との間には明確な関係があるか？

主な発見

• マーテル測度のリャプノフ指数がゼロであることは、その台がほとんど至る所で$C^1$-正則であることと同値である。
• マーテル測度のリャプノフ指数が非ゼロであることは、その台がほとんど至る所で$C^1$-不正則であることと同値である。
• Aubry-Mather集合が一様双曲的であることは、それが至る所で$C^1$-不正則であることと同値である。
• 非一様双曲的マーテル測度に関しては、$G_-(x) = G_+(x)$である点の集合は、$G_ u$-稠密集合であり、このような点は$C^1$-正則である。
• KAM曲線の周辺にあるAubry-Mather集合は一様双曲的ではなく、小さなパラティンジェント錐を持つため、僅かに不規則であることが示唆される。
• 一様双曲的集合の各点において、グリーンバンドル$G_+$と$G_-$は互いに横断的であり、この横断的性が一様双曲的性を特徴付ける。