[論文レビュー] The Liu-Yau mass as a good quasi-local energy in general relativity

Niall Ó Murchadha|ArXiv.org|Jun 8, 2007

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、球対称な2次元表面の幾何を生成するために必要な最小エネルギーを示すことで、一般相対性理論におけるリウ＝ヨウ質量が物理的に意味のある準局所的エネルギーであることを確立している。これは、内部エネルギーの内容を捉える点でブラウン＝ヨークエネルギーを上回る。リウ＝ヨウ質量は正であり、アインシュタイン＝デロンブール（ADM）質量に漸近的に近づき、特に静的または球対称な時空において、内部に関する独自の情報を提供する。

ABSTRACT

A quasi-local mass has been a long sought after quantity in general relativity. A recent candidate has been the Liu-Yau mass. One can show that the Liu-Yau mass of any two-surface is the maximum of the Brown-York energy for that two-surface. This means that it has significant disadvantages as a mass. It is much better interpreted as an energy and I will show one way of doing so. The Liu-Yau mass is especially interesting in spherical geometries, where mass and energy are indistinguishable. For a spherical two-surface, it equals the minimum of the amount of energy at rest that one needs to put inside the two-surface to generate the given surface geometry. Thus it gives interesting information about the interior, something no other mass or energy function does.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論におけるリウ＝ヨウ質量が物理的に意味のある準局所的エネルギーであることを確立すること。
• 負の値を取り得て内部エネルギーの内容を正しく反映しないブラウン＝ヨークエネルギーの欠陥を解消すること。
• 球対称時空において、特定の2次元表面幾何を生成するために必要な最小エネルギーがリウ＝ヨウ質量であることを示すこと。
• リウ＝ヨウ質量が漸近的にADMエネルギー運動量に近づき、ローレンツブーストに対して正しく変換されることを示すこと。
• リウ＝ヨウ質量が他の準局所的質量とは異なり、時空の内部に関する独自の情報を提供することを主張すること。

提案手法

• リウ＝ヨウ質量は、積分 $ 8\tau M_{LY} = \int (\sqrt{\rho_0\mu_0} - \sqrt{\rho\mu}) \, dA $ により定義され、ここで $ \rho, \mu $ は2次元表面の光円錐膨張である。
• リファレンス量 $ \rho_0, \mu_0 $ を定義するために、2次元表面を平坦な3次元空間に等長埋め込みすることに依存している。
• リウ＝ヨウ質量は、特に球対称性がある場合に、与えられた表面幾何を生成するために必要な最小の静止エネルギーとして解釈される。
• 著者らはリウ＝ヨウ質量とブラウン＝ヨークエネルギーを比較し、同じ表面に対して常にリウ＝ヨウ質量がブラウン＝ヨークエネルギー以上であることを示した。
• 将来と過去の光円錐膨張が等しい特別な3次元断面が選ばれ、一貫したエネルギー運動量の定義が可能になる。
• 得られたリウ＝ヨウ＝ブラウン＝ヨークエネルギー運動量は、ADMエネルギー運動量に漸近的に近づき、漸近的極限で $ E^2 > P^2 $ を満たすことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リウ＝ヨウ質量は、時空の内部エネルギーの内容を反映する物理的に意味のある準局所的エネルギーとして解釈可能か？
• RQ2 なぜブラウン＝ヨークエネルギーは、曲がったあるいはブーストされた断面において内部エネルギーを捉えられないのか？
• RQ3 球対称時空において、リウ＝ヨウ質量はバートニクやミズナー＝ショートン質量といった他の準局所的質量とどのように比較されるか？
• RQ4 リウ＝ヨウ質量は、特定の2次元表面幾何を生成するために必要な全エネルギーの下界を提供するか？
• RQ5 リウ＝ヨウ質量は、適切な漸近的性質およびローレンツ変換性を持つ、完全なエネルギー運動量4ベクトルに一貫して拡張可能か？

主な発見

• リウ＝ヨウ質量は、与えられた球対称2次元表面幾何を生成するために必要な最小の静止エネルギーであり、内部エネルギーを特徴付ける唯一の指標である。
• 球対称性がある場合、リウ＝ヨウ質量は正であり、表面半径が小さくなるにつれて増加し、増大する重力ポテンシャル井戸を反映している。
• リウ＝ヨウ質量は、表面が非常に大きい極限でADMエネルギー運動量に漸近的に近づき、標準的なグローバルエネルギー定義と整合性を持つ。
• 同じ2次元表面に対して、リウ＝ヨウ質量は常にブラウン＝ヨークエネルギー以上であり、後者に見られる非物理的な負の値を回避する。
• 真空中では重力波エネルギーのおかげでリウ＝ヨウ質量がゼロでない場合があるが、静的または球対称な場合、物質や曲がりの存在を反映する。
• 提案されたリウ＝ヨウ＝ブラウン＝ヨークエネルギー運動量構成は正であり、漸近的にADM4運動量に近づき、無限遠で $ E^2 - P^2 \approx M^2_{ADM} $ が成り立つ。