[論文レビュー] The local entropy along Ricci flow---Part B: the pseudo-locality theorems

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用数 7

ひとこと要約

本稿はペレラマンの研究にインspiredされた局所化されたエントロピー関数を導入し、Li-Yauの推定を用いてリッチフローの非局所的崩壊と擬似局所性の定理を一般化する。初期計量条件として局所化された $\nu$-関数の条件を用いることで、曲率、体積、および注入半径の境界を確立し、初期データに対する連続的依存性およびスカラー曲率が有界なケーラー多様体のコンパクト性結果を得る。

ABSTRACT

We localize the entropy functionals of G. Perelman and generalize his no-local-collapsing theorem and pseudo-locality theorem. Our generalization is technically inspired by further development of Li-Yau estimates along the Ricci flow. It has various applications, including to show the continuous dependence of the Ricci flow with respect to the initial metric in Gromov-Hausdorff topology with Ricci curvature bounded below, and to show the compactness of the moduli of Kähler manifolds with bounded scalar curvature and a rough locally almost Euclidean condition.

研究の動機と目的

• 局所化されたエントロピー関数を用いてペレラマンの非局所的崩壊および擬似局所性の定理を拡張すること。
• 時空曲率条件を、$\tilde{\nu}$-関数に基づく初期計量条件に置き換えること。
• Gromov-Hausdorff位相における初期データに対するリッチフローの連続的依存性を確立すること。
• 有界スカラー曲率およびほぼユークリッドな体積比を満たすケーラー多様体のモジュライ空間のコンパクト性を証明すること。
• 局所化されたエントロピーの単調性を用いて、既存の擬似局所性定理を統一的かつ強化すること。

提案手法

• 初期計量内の球上でペレラマンの $\mu$ および $\nu$ 関数を局所化し、局所化されたエントロピーを定義する。
• リッチフローに沿って局所化関数の有効な単調性公式を導出するために、Li-Yau型推定を用いる。
• 初期条件として $\nu$-関数を含むもの：$\boldsymbol{\nu}\left(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T\right)\geq -\delta^2$ を課す。
• 曲率境界 $t|Rm|(x,t)\leq\alpha$、体積比境界 $\rho^{-m}|B_{g(t)}(x,\rho)|\geq(1-\alpha)\omega_m$、および注入半径境界 $t^{-1/2}\cdot\mathrm{inj}(x,t)\geq\alpha^{-1}$ を導出する。
• 得られた結果を用いて、初期データに対するリッチフローの連続的依存性およびケーラー多様体のモジュライ空間のコンパクト性を証明する。
• 調和写像理論および正則性を用いて、等長極限下でのケーラー構造の滑らかさを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬似局所性定理は、時空曲率境界ではなく初期計量条件のみで証明可能か？
• RQ2 ケーラーおよびリーマン多様体のエントロピーギャップ定理における鋭いギャップ定数は何か？
• RQ3 安定性定理においてリッチ曲率下界条件を、局所化されたエントロピー条件のみに置き換えることは可能か？
• RQ4 $\nu$-関数はファノ多様体および球に類似した多様体におけるリッチフローの長時間挙動および収束を制御するか？
• RQ5 有界スカラー曲率を満たすケーラー多様体のモジュライ空間のコンパクト性は、エントロピー境界によって確立可能か？

主な発見

• 改善された擬似局所性定理は、初期条件 $\boldsymbol{\nu}\left(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T\right)\geq -\delta^2$ の下で成り立ち、従来の仮定よりも弱い。
• 任意の $\alpha \in (0, \frac{1}{100m})$ に対して、$\delta = \delta(\alpha,m)$ が存在し、曲率、体積、および注入半径の境界が $\sim (\delta r_0)^2$ のサイズの時空領域で成り立つ。
• 条件 $\boldsymbol{\nu}(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T)\geq -\delta^2$ は、$t \in (0,T]$ に対して $t|Rm|(x,t)\leq\alpha$、$\rho^{-m}|B_{g(t)}(x,\rho)|\geq(1-\alpha)\omega_m$、および $t^{-1/2}\cdot\mathrm{inj}(x,t)\geq\alpha^{-1}$ を含意する。
• 本稿は、有界リッチ曲率およびエントロピー条件の下で、Gromov-Hausdorff位相における初期データに対するリッチフローの連続的依存性を証明する。
• 有界スカラー曲率および粗い局所的ほぼユークリッドな条件を満たすケーラー多様体のモジュライ空間のコンパクト性は、エントロピー制御によって確立される。
• 本稿は、$\boldsymbol{\nu}(M,g) > \boldsymbol{\nu}(\mathbb{CP}^n,g_{FS}) - \epsilon$ ならば、$\mathbb{CP}^n$ へのbiholomorphism および正規化されたリッチフローの指数的収束が成立するという予想を提示する。