[論文レビュー] The local $h$-polynomial of the edgewise subdivision of the simplex

Christos A. Athanasiadis|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、単体の $r$-重エッジワイズ分割の局所 $h$-多項式を計算し、それが連続する等しい要素を含まない零端点付きのスミルノフ語における上昇の生成関数に等しいことを示している。多項式の $\gamma$-非負性は明示的な組合せ的解釈により証明され、7次元単体のフラッグ三角形分割を構成し、その局所 $h$-多項式が実根を持たないことを示した。これにより、フラッグ複体における $\gamma$-非負性と実根性に関する予想が解決された。

ABSTRACT

The $r$-fold edgewise subdivision is a well studied flag triangulation of the simplex with interesting algebraic, combinatorial and geometric properties. An important enumerative invariant, namely the local $h$-polynomial, of this triangulation is computed and shown to be $γ$-nonnegative by providing explicit combinatorial interpretations to the corresponding coefficients. A construction of a flag triangulation of the seven-dimensional simplex whose local $h$-polynomial is not real-rooted is also described.

研究の動機と目的

• $(n-1)$-単体の $r$-重エッジワイズ分割の局所 $h$-多項式を計算すること。
• その多項式の係数に対する組合せ的解釈を提供することで、$\gamma$-非負性を確立すること。
• 局所 $h$-多項式が実根を持たない7次元単体のフラッグ三角形分割を構成することにより、フラッグ複体における実根性に関する予想に応えること。

提案手法

• 面制限における包含除算法による局所 $h$-多項式の定義：$\ell_V(\Gamma,x) = \sum_{F \subseteq V} (-1)^{n-|F|} h(\Gamma_F,x)$。
• 局所 $h$-多項式を $E_r$ を用いて $(x + x^2 + \cdots + x^{r-1})^n$ に作用させた像として特徴づける。ここで $E_r(x^m) = x^{m/r}$ （$r \mid m$ のとき）、さもなくば 0。
• 局所 $h$-多項式を、$w_0 = w_n = 0$ かつ連続する等しい要素を含まない長さ $n+1$ のスミルノフ語 $w$ の集合 $\mathcal{S}(n,r)$ に対する $\sum_{w \in \mathcal{S}(n,r)} x^{\text{asc}(w)}$ に同定する。
• $\gamma$-係数の組合せ的解釈を、$i$ 個の上昇と特定の二重上昇・二重下降ペアリング条件を満たすスミルノフ語を数えることによって導入する。
• 一般化された分割作用素 $\text{sd}_{\mathcal{F}}(\mathcal{K})$ を用いて、実根を持たない $h$-多項式をもつ6次元フラッグ多面体から7次元単体のフラッグ三角形分割を構成する。
• スレーゲル図と射影技術を用いて、フラッグ多面体を単体に埋め込み、所望のリンクを持つ三角形分割を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体の $r$-重エッジワイズ分割の局所 $h$-多項式の明示的形は何か？
• RQ2 エッジワイズ分割の局所 $h$-多項式は $\gamma$-非負か？ もしそうなら、その係数は組合せ的解釈を与えられるか？
• RQ3 局所 $h$-多項式が実根を持たない単体のフラッグ三角形分割は存在するか？
• RQ4 エッジワイズ分割に対して、フラッグ三角形分割の $\gamma$-非負性予想は確認できるか？
• RQ5 スミルノフ語の組合せ論とエッジワイズ分割の局所 $h$-多項式との関係は何か？

主な発見

• 局所 $h$-多項式 $\ell_V(\text{esd}_r(2^V),x)$ は、$w_0 = w_n = 0$ かつ連続する等しい要素を含まない長さ $n+1$ のスミルノフ語の集合 $\mathcal{S}(n,r)$ に対する $\sum_{w \in \mathcal{S}(n,r)} x^{\text{asc}(w)}$ に等しい。
• 多項式は $\gamma$-非負であり、係数 $\xi_{n,r,i}$ は正確に $i$ 個の上昇と特定の二重上昇・二重下降ペアリング条件を満たすスミルノフ語の数を数える。
• $\ell_V(\text{esd}_r(2^V), -1)$ は、正確に $n/2$ 個の上昇とペアリング性質を満たすような語の数に $(-1)^{n/2}$ を乗じたものに等しい。
• 7次元単体のフラッグ三角形分割が存在し、その局所 $h$-多項式は実根を持たない。これにより、フラッグ複体における実根性の一般化が否定された。
• この構成は、実根を持たない $h$-多項式をもつ6次元フラッグ多面体を7次元単体に埋め込み、分割作用素を用いてその多面体をリンクとする三角形分割を構成することに依存する。
• この三角形分割はフラッグであり、内部頂点のリンクは実根を持たない $h$-多項式をもつフラッグ多面体の境界と組合せ的に同型であるため、局所 $h$-多項式は実根を持たない。