[論文レビュー] The Local Isometric Embedding in R^3 of Two-Dimensional Riemannian Manifolds With Gaussian Curvature Changing Sign to Finite Order on a Curve

Marcus Khuri|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元リーマン多様体のガウス曲率が滑らかな曲線上で有限次の零点を持つ場合、$C^r$ 型の正則性（$r \geq 60$）のもとで、$ℝ^3$ における $C^{r-36}$ 局所等長埋め込みの存在を確立する。この結果は、混合型の性質を示す2階のモンジュ・アンペール方程式の一般解法理論に基づき、曲率が符号を変えるが非退化的にゼロとなる長年の未解決事例を解消する。

ABSTRACT

We consider two natural problems arising in geometry which are equivalent to the local solvability of specific equations of Monge-Ampere type. These two problems are: the local isometric embedding problem for two-dimensional Riemannian manifolds, and the problem of locally prescribed Gaussian curvature for surfaces in R^3. We prove a general local existence result for a large class of Monge-Ampere equations in the plane, and obtain as corollaries the existence of regular solutions to both problems, in the case that the Gaussian curvature vanishes to arbitrary finite order on a single smooth curve.

研究の動機と目的

• ガウス曲率が滑らかな曲線上で有限次にゼロとなる2次元リーマン多様体の局所等長埋め込み問題を解明すること。
• 低正則性仮定のもとで、等長埋め込みを記述するモンジュ・アンペール方程式に対する $C^{r-36}$ 解の存在を確立すること。
• 曲率指定問題と等長埋め込み問題の両者を、混合型の性質を示すモンジュ・アンペール方程式の統一的枠組み内で一般化し統合すること。
• 非ゼロ曲率、非退化的臨界点、または曲率の符号が一定である場合を超えて、既知の存在定理を拡張すること。

提案手法

• 等長埋め込み問題を、$K$ が曲線 $\sigma$ 沿いで有限次にゼロとなる形の2階モンジュ・アンペール方程式 $\det(z_{ij} + a_{ij}(u,v,z,\nabla z)) = K f(u,v,z,\nabla z)$ に還元する。
• 下位項係数 $a_{ij}$ のゼロの次数に制約を課し、$\sigma$ 沿いで $K$ よりも少なくとも1次高い次数でゼロになるようにする。
• 度量を $x_1$ 方向に平坦化する座標変換を施し、摂動および漸近的解析に適した形に方程式を簡略化する。
• 特異摂動問題に変換するため、吹き上げスケーリング $\varepsilon = \text{const} \cdot \text{dist}(\cdot, \sigma)^{1/(n+1)}$ を用いて特異曲線近傍の挙動を分析する。
• 重み付き Hölder 空間におけるナッシュ＝モーザー型反復スキームを適用し、$K$ および $a_{ij}$ のゼロの次数を活用して微分の損失を制御する。
• 測地線仮定が本質的でないことを示すことで、測地線から一般の滑らかな曲線への一般化を正当化する。座標不変性と変換則を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元多様体上の $C^r$ リーマン計量が、ガウス曲率が滑らかな曲線上で有限次にゼロとなる場合、$ℝ^3$ に $C^{r-36}$ 局所等長埋め込みをもつための条件は何か？
• RQ2 曲率が符号を変え、曲線上でゼロとなる混合型のモンジュ・アンペール方程式が、低正則性仮定のもとで局所的に解をもつかどうか？
• RQ3 ガウス曲率 $K \in C^r$（$r \geq 58$）が滑らかな曲線上で有限次にゼロとなる場合、与えられた曲率を持つ $ℝ^3$ 内の $C^{r-34}$ 表面が存在するか？
• RQ4 曲率および下位項係数のゼロの次数が、等長埋め込み方程式の解の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 従来の結果における測地線仮定は、解の正則性を損なわずに取り除けるか？

主な発見

• 本稿は、任意の2次元リーマン計量 $ds^2 \in C^r$（$r \geq 60$）に対して、ガウス曲率 $K$ が滑らかな曲線上で有限次にゼロとなる場合、$ℝ^3$ における $C^{r-36}$ 局所等長埋め込みの存在を証明する。
• ガウス曲率 $K \in C^r$（$r \geq 58$）を指定する問題に関して、$K$ が滑らかな曲線上で有限次にゼロとなる場合、与えられた曲率を持つ $ℝ^3$ 内の $C^{r-34}$ 表面の存在を確立する。
• 主結果は、$K$ が曲線上で $n+1$ 次にゼロで、$a_{ij}$ が $n$ 次にゼロとなるような2階モンジュ・アンペール方程式 $\det(z_{ij} + a_{ij}) = K f$ の一般解法定理であり、$C^r$ 正則性のもとで $C^{r-34}$ 解が得られる。
• 解法は吹き上げスケーリングと重み付き Hölder 空間におけるナッシュ＝モーザー型反復に依拠しており、$K$ および $a_{ij}$ のゼロの次数が微分の損失を制御する上で中心的役割を果たす。
• 等長埋め込み結果における測地線仮定は、座標不変性と変換則を用いることで、一般の滑らかな曲線に一般化可能であることが示された。
• 解析により、曲率が有限次にゼロとなる場合でも、方程式が曲線を境に楕円型と双曲型に移行する場合であっても、正則解の存在が妨げられないことが確認された。