[論文レビュー] The local lifting problem for actions of finite groups on curves

Ted Chinburg, Robert M. Guralnick+1 more|ArXiv.org|Mar 2, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正標数 p における曲線上の有限群作用の局所的上昇問題を調査し、k[[t]] から特徴数 0 への群作用の上昇に関する障害を焦点とする。KGB 障害を導入・分析し、すべての部分群 H に対して商曲線 X/H と Y/H の genus が一致する場合にその値が 0 になることを示し、G = Z/p × Z/p の場合、KGB 障害が 0 になるのは p ≠ 3 のときに限ることを証明し、一般化された Oort 予想に対する重要な反例を提供する。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p > 0$. We study obstructions to lifting to characteristic 0 the faithful continuous action $ϕ$ of a finite group $G$ on $k[[t]]$. To each such $ϕ$ a theorem of Katz and Gabber associates an action of $G$ on a smooth projective curve $Y$ over $k$. We say that the KGB obstruction of $ϕ$ vanishes if $G$ acts on a smooth projective curve $X$ in characteristic 0 in such a way that $X/H$ and $Y/H$ have the same genus for all subgroups $H \subset G$. We determine for which $G$ the KGB obstruction of every $ϕ$ vanishes. We also consider analogous problems in which one requires only that an obstruction to lifting $ϕ$ due to Bertin vanishes for some $ϕ$, or for all sufficiently ramified $ϕ$. These results provide evidence for a strengthening of Oort's lifting conjecture.

研究の動機と目的

• すべての局所的群作用 φ: G → Aut(k[[t]]) が特徴数 0 に上昇可能となるような有限群 G を特定すること。
• すべての H ≤ G に対して genus(X/H) = genus(Y/H) であるという条件として定義される KGB 障害を分析し、その値が 0 になる条件を同定すること。
• 局所的上昇の文脈において、Bertin 障害と KGB 障害の関係を比較・明確化すること。
• 十分に分岐が強い作用に対してすべて上昇可能であるという証拠を提供し、強化された Oort 予想を裏付けること。

提案手法

• Katz-Gabber 定理を用いて、k[[t]] 上の各局所的群作用 φ に対して、体 k 上の滑らかで射影的な曲線 Y を関連付ける。
• KGB 障害を、すべての H ≤ G に対して genus(X/H) = genus(Y/H) を満たす特徴数 0 上の曲線 X の存在を要請するものとして定義する。
• Hasse-Arf 定理を適用し、Galois 群の上位番号付けにおける分岐フィルトレーションとジャンプ数を分析する。
• 問題を、特に G = Z/p × Z/p の場合の巡回部分群とその生成元の分析に還元する。
• べき級数拡張とユニフォーマル化子を用いて、φ(σ)(t) − t の付値を計算する明示的例を構成する。
• 位数 p の部分群の生成元の積に関する群論的条件を用い、KGB 障害が 0 になるかどうかを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群 G に対して、すべての局所的群作用 φ: G → Aut(k[[t]]) に対して KGB 障害が 0 になるか？
• RQ2 G = Z/p × Z/p で p = 3 のとき、KGB 障害は 0 になるか？もしくは、そうでない場合の理由は何か？
• RQ3 Bertin 障害と KGB 障害の関係は何か？一般には等価であるか？
• RQ4 どの条件下で、KGB 障害が十分に分岐が強い作用に対して 0 になるか？
• RQ5 KGB 障害が 0 だが Bertin 障害が 0 でない有限群 G が存在するか？

主な発見

• G = Z/p × Z/p の場合、KGB 障害が 0 になるのは p ≠ 3 のときに限る。
• p = 3 で i₀ + 1 = p のとき、KGB 障害は 0 にならず、一般化された Oort 予想に対する反例を提供する。
• i₀ + 1 > p のとき、すべての G = Z/p × Z/p に対して KGB 障害が 0 になる。これは、各部分群に対して複数の生成元が存在し、それらの積の恒等式が成立するからである。
• i₀ + 1 = p で G_{i₀+1} = {e} のとき、KGB 障害が 0 になるのは p ≠ 3 のときのみである。これは (Z/p)× 内の連立1次方程式系に解が存在しないことから示される。
• KGB 障害は Bertin 障害よりも厳密に強い：Bertin 障害が 0 だが KGB 障害が 0 でない群作用が存在する。
• 本稿では、特徴数 3 における明示的例を構成し、Bertin 障害は 0 だが KGB 障害は 0 でないことを確認し、両者の非等価性を裏付けた。