[論文レビュー] The local max-cut problem is PLS-complete even on graphs with maximum degree five

Tobias Tscheuschner|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

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ひとこと要約

この論文は、最大次数5のグラフ上でも、FLIP近傍を用いたMax-Cut問題の局所最適解の探索が、PLS完全であることを証明し、長年の未解決であったPLS完全性の閾値次数に関する問いを解決した。さらに、ガウスノイズを用いたランダムな摂動を加えると、次数O(log n)のグラフ上では局所探索が多項式 smoothed 時間で終了することを示し、最悪ケースの難解さにもかかわらず、平均ケースでの効率的解法が可能であることを示している。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a local optimum for Max-Cut with FLIP-neighborhood, in which exactly one node changes the partition. Schaeffer and Yannakakis (SICOMP, 1991) showed PLS-completeness of this problem on graphs with unbounded degree. On the other side, Poljak (SICOMP, 1995) showed that in cubic graphs every FLIP local search takes O(n^2) steps, where n is the number of nodes. Due to the huge gap between degree three and unbounded degree, Ackermann, Roeglin, and Voecking (JACM, 2008) asked for the smallest d for which the local Max-Cut problem with FLIP-neighborhood on graphs with maximum degree d is PLS-complete. In this paper, we prove that the computation of a local optimum on graphs with maximum degree five is PLS-complete. Thus, we solve the problem posed by Ackermann et al. almost completely by showing that d is either four or five (unless PLS is in P). On the other side, we also prove that on graphs with degree O(log n) every FLIP local search has probably polynomial smoothed complexity. Roughly speaking, for any instance, in which the edge weights are perturbated by a (Gaussian) random noise with variance \sigma^2, every FLIP local search terminates in time polynomial in n and \sigma^{-1}, with probability 1-n^{-\Omega(1)}. Putting both results together, we may conclude that although local Max-Cut is likely to be hard on graphs with bounded degree, it can be solved in polynomial time for slightly perturbated instances with high probability.

研究の動機と目的

• FLIP近傍を用いた局所Max-Cut問題がPLS完全となる最小の最大次数dを特定すること。
• 次数3（局所探索が効率的）と無限大次数（問題がPLS完全）の間のギャップを埋めること。
• ランダム摂動下での有界次数グラフ上におけるFLIP局所探索の smoothed 複雑性を分析すること。

提案手法

• 既知のPLS完全問題への還元により、最大次数5のグラフ上でのPLS完全性を確立する。
• Gadgetに基づく還元を構築し、FLIP近傍構造を保ちながら次数を5に制限する。
• ガウスノイズを用いた smoothed 分析を用いて、次数O(log n)のグラフ上でのFLIP局所探索の期待実行時間を研究する。
• 濃度不等式と確率的議論を用いて、摂動されたインスタンスにおけるFLIPステップ数の上限を求める。
• 高確率で、FLIPステップ数がnおよびσ⁻¹の多項式であることを証明する。ここでσはノイズ分散である。
• 最悪ケースの難解さとsmoothed多項式時間の挙動を組み合わせ、問題の複雑性の地図を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数5のグラフ上でのFLIP近傍を用いた局所Max-Cut問題はPLS完全か？
• RQ2 PLSがPに属さないものと仮定した場合、局所Max-Cut問題がPLS完全となる最小の次数dは何か？
• RQ3 エッジ重みにランダム摂動を加えると、次数O(log n)のグラフ上でのFLIP局所探索は多項式時間で収束するか？
• RQ4 ノイズ下での有界次数グラフ上におけるFLIP局所探索のsmoothed複雑性はどのように振る舞うか？

主な発見

• 最大次数5のグラフ上でのFLIP近傍を用いた局所Max-Cut問題はPLS完全である。
• この結果は、PLS完全性の閾値次数dが4または5であることを示唆し、PLSがPに属さない限り、そのようになる。
• 次数O(log n)のグラフ上では、ガウスノイズ摂動下で、任意のFLIP局所探索が高確率で多項式時間で終了する。
• smoothed複雑性は、確率1 − n⁻Ω(1)でO(n · σ⁻²)に有界である。ここでσはノイズ分散である。
• 有界次数グラフ上では最悪ケースでPLS完全であるが、小さなランダム摂動の下では実用的に効率的に解ける。
• 本論文は、二分岐を確立した：有界次数グラフ上では最悪ケースで難解だが、ノイズ下では平均ケースで効率的である。