[論文レビュー] The local potential approximation of the renormalization group

Christopher Simon Francis Harvey-Fros|ArXiv.org|Aug 3, 2001

Theoretical and Computational Physics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、正確な埋め込みランゲル・ギャラリー群の局所ポテンシャル近似（LPA）における変分近似法を開発し、ポルチンスキーのフロー方程式を用いてスカラー場理論における自由度を数える単調減少関数（C関数）を導出する。この手法はフェルミオン場理論へと拡張され、LPAポルチンスキーフローがチャーミカル対称性を保存しないことが示され、大N極限において信頼性の高い結果が得られ、C関数がLPAフレームワークの非摂動的正当化を提供する。

ABSTRACT

We introduce Wilson's, or Polchinski's, exact renormalization group, and review the Local Potential Approximation as applied to scalar field theory. Focusing on the Polchinski flow equation, standard methods are investigated, and by choosing restrictions to some sub-manifold of coupling constant space we arrive at a very promising variational approximation method. Within the Local Potential Approximation, we construct a function, C, of the coupling constants; it has the property that (for unitary theories) it decreases monotonically along flows and is stationary only at fixed points - where it `counts degrees of freedom', i.e. is extensive, counting one for each Gaussian scalar. In the latter part of the thesis, the Local Potential Approximation is used to derive a non-trivial Polchinski flow equation to include Fermi fields. Our flow equation does not support chirally invariant solutions and does not reproduce the features associated with the corresponding invariant theories. We solve both for a finite number of components, N, and within the large N limit. The Legendre flow equation provides a comparison with exact results in the large N limit. In this limit, it is solved to yield both chirally invariant and non-invariant solutions.

研究の動機と目的

• スカラー場理論における正確な埋め込みランゲル・ギャラリー群の局所ポテンシャル近似（LPA）における変分近似法の開発。
• RGフローに沿って単調に減少するC関数を構築し、自由度を数えることにより、LPAの非摂動的正当化を提供すること。
• フェルミオン場理論へのLPAの拡張を、ポルチンスキーのフロー方程式を用いて行い、そのチャーミカル不変解を支持できない理由を分析すること。
• 特にレジェンドル方程式とポルチンスキー方程式の両方の解を、大N極限における正確解と比較すること。
• 切断スキームの信頼性を評価し、ゲージ理論やチャーミカルモデルへのLPAの適用における限界を特定すること。

提案手法

• 正確な埋め込みランゲル・ギャラリー群のポルチンスキーのフロー方程式を出発点とし、LPAを導出する。
• 結合定数空間を部分多様体に制限することで変分法を適用し、安定な数値解が得られるようにする。
• LPAフローから得られるC関数を構築し、RG軌道に沿って単調に減少し、固定点でのみ定常となるようにする。
• フェルミオン場を含むようにポルチンスキーフロー方程式を修正し、フェルミオン理論へのLPAを実装する。
• 有限Nにおけるフロー方程式を数値的に、大N極限では解析的に解く。
• 大N極限におけるレジェンドルフロー方程式の正確解と比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な埋め込みランゲル・ギャラリー群のLPAにおける変分法は、非摂動的固定点を信頼性高く近似できるか？
• RQ2 LPAフレームワークで導出されたC関数は、RGフローに沿って単調に減少し、自由度を正しく数えられるか？
• RQ3 なぜLPAポルチンスキーフロー方程式はフェルミオン場理論においてチャーミカル不変解を支持できないのか？
• RQ4 LPAポルチンスキーフロー方程式の解は、大N極限における正確解とどのように比較できるか？
• RQ5 ゲージ理論へのLPAの拡張は、ゲージ対称性を破ることなく可能か？

主な発見

• LPAで構築されたC関数は、RGフローに沿って単調に減少し、固定点でのみ定常となる。これにより、LPAの非摂動的正当化が得られる。
• LPA内での変分法により、他の先進的手法と同等の精度で臨界指数の推定が可能となり、多項式展開の単純な切断より優れた性能を示す。
• 大N極限において、LPAポルチンスキーフロー方程式はチャーミカル不変および非不変解を再現するが、カットオフがチャーミカル対称性を破る場合には、非不変解のみが得られる。
• フェルミオン理論におけるLPAポルチンスキーフローは、カットオフ関数がチャーミカル対称性を破るため、非自明な固定点を支持できない。これは、この文脈における手法の根本的限界を示している。
• 大N極限におけるLPAポルチンスキーフロー方程式は発散しない解を生成し、三次元における既知の正確解と一致する。これにより、大Nにおける手法の妥当性が検証される。
• 有限Nにおけるフェルミオン理論の記述としてはレジェンドルフロー方程式がより正確であるが、LPAポルチンスキーフローは大N極限においても扱いやすく有用である。