[論文レビュー] The Logarithm of the Modulus of an Entire Function as a Minorant for a Subharmonic Function outside a Small Exceptional Set

Б. Н. Хабибуллин|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ある整関数 f の対数モジュラスが、サブハーモニック関数 u の積分平均によって有界であるという条件と、u 自身によって有界である（ただし、小さな例外的集合の外で）という条件との間の同値性を確立する。主な結果は、有限型のサブハーモニック関数に対して、log|f| ≤ u が、密度が制御された小さなディスクの可算和集合の外で成り立つことを示しており、型、タイプ、および指標関数を用いた精確な成長制御のもとで、改良された下界条件を提供する。

ABSTRACT

Let $u ot\equiv -\infty$ be a subharmonic function on the complex plane $\mathbb C$. In 2016, we obtained a result on the existence of an entire function $f eq 0$ satisfying the estimate $\log|f|\leq {\sf B}_u$ on $\mathbb C$, where functions ${\sf B}_u$ are integral averages of $u$ for rapidly shrinking disks as it approaches infinity. We give another equivalent version of this result with $\log |f|\leq u$ outside a very small exceptional set if $u$ is of finite order.

研究の動機と目的

• 2016年のサブハーモニック関数によって下から押さえられる整関数に関する結果の同値な定式化を確立すること。
• 積分平均を点での有界性に置き換えることで、下界条件を精緻化すること。
• サブハーモニック関数 u の型、タイプ、および指標関数を用いて、整関数 f の成長を特徴付けること。
• 例外的集合が制御された密度と減衰率を持つための条件を提供すること。

提案手法

• サブハーモニック関数 u から導かれる積分平均 B_u(z,r) および C_u(z,r) を用いて、log|f| の上限を定める。
• R → ∞ のとき、sup t_k ≤ 1 かつ ∑_{|z_k|≥R} t_k = O(1/R^q) を満たす、可算個のディスク D(z_k, t_k) の和集合として定義される例外的集合 E_q の構成。
• リエシ測度と調和上限関数を用いて、サブハーモニック関数とその積分平均との関係を確立する。
• log|f| と u の漸近的成長の比較に、指標関数 ind_p[u](s) を用いる。
• M^rad_u の型と C_u および B_u の型が等しいことの同値性を活用し、成長を制御する。
• 二方向の含意による証明：定理1.1から例外的集合の定式化へ、およびその逆を、被覆および測度論的推定を用いて行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整関数 f の対数モジュラスが、小さな例外的集合の外でサブハーモニック関数 u によって点で有界になるための条件は何か？
• RQ2 例外的集合のサイズと分布は、整関数の成長にどのように影響するか？
• RQ3 サブハーモニック関数 u の型、タイプ、および指標関数と、整関数 f のそれらの間の正確な関係は何か？
• RQ4 log|f| ≤ B_u(z, Q(z)) という下界条件を、密度が制御された集合の外で log|f| ≤ u に同値に置き換えることができるか？
• RQ5 u の有限型から、f に課される成長制約は何か？

主な発見

• 任意の q > 0 に対して、非ゼロの整関数 f_q が存在し、すべての z に対して log|f_q(z)| ≤ u(z) が、E_q と呼ばれる可算個のディスクの和集合の外で成り立つ。ここで、sup t_k ≤ 1 かつ ∑_{|z_k|≥R} t_k = O(1/R^q) (R → ∞) を満たす。
• 整関数 f_q の型は ord[log|f_q|] ≤ ord[u] を満たし、任意の p > 0 に対して、型 p におけるタイプは type_p[log|f_q|] ≤ type_p[u] を満たす。
• log|f_q| の指標関数は、点ごとに u の指標関数以上に有界である。すなわち、すべての s ∈ ℝ および p > 0 に対して、ind_p[log|f_q|](s) ≤ ind_p[u](s) が成り立つ。
• サブハーモニック関数 u の型は、その積分平均 C_u および B_u の型に等しい：ord[u] = ord[C_u] = ord[B_u]。
• 各 p > 0 に対して、type_p[u] の有限性は、type_p[C_u] および type_p[B_u] の有限性と同値である。
• 例外的集合 E_q は、総測度が O(1/R^q) のように減衰するディスクで被覆可能であり、無限遠点における密度が無視できることが保証される。