[論文レビュー] The Logarithmic Super Divergence and its use in Statistical Inference

Avijit Maji, Abhik Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対数的パワー発散（LPD）および対数的密度パワー発散（LDPD）の両家族を統合する新しい統計的発散である対数的スーパー発散（LSD）を導入する。LSDを用いた最小距離推定を提案し、特に位置モデルにおいて、一次の影響関数が性能を予測できない状況でも、汚染に対する優れたロバスト性を示し、外れ値が存在する状況下での仮説検定においても、実験的パワーが向上することを示している。

ABSTRACT

This paper introduces a new superfamily of divergences that is similar in spirit to the S-divergence family introduced by Ghosh et al. (2013). This new family serves as an umbrella that contains the logarithmic power divergence family (Renyi, 1961; Maji, Chakraborty and Basu 2014) and the logarithmic density power divergence family (Jones et al., 2001) as special cases. Various properties of this new family and the corresponding minimum distance procedures are discussed with particular emphasis on the robustness issue; these properties are demonstrated through simulation studies. In particular the method demonstrates the limitation of the first order influence function in assessing the robustness of the corresponding minimum distance procedures.

研究の動機と目的

• LPD および LDPD の両方を特別ケースとして含む統一された発散家族の構築を目的とする。
• LSD 家族に基づく最小距離推定器のロバスト性特性を調査すること。
• これらの推定器のロバスト性を評価するにあたり、一次の影響関数が予測不能であることを示すこと。
• 汚染下における推定および仮説検定における LSD に基づく推論の実験的性能を評価すること。
• 有限標本におけるロバスト性と統計的パワーを最大化するための LSD の最適パラメータ領域を同定すること。

提案手法

• 対数的変換を用いたパワー発散の一般化として、二つのパラメータからなる対数的スーパー発散（LSD）を定義する：$\text{LSD}_{\beta,\gamma}(g,f) = \frac{1}{A}\log\int f^{1+\beta} - \frac{1+\beta}{AB}\log\int f^B g^A + \frac{1}{B}\log\int g^{1+\beta}$、ここで $A = 1 + \gamma(1 - \beta)$、$B = \beta - \gamma(1 - \beta)$。
• LSD の最小化によりパラメータ $\theta$ の推定方程式を導出する。その結果、$\frac{\int f_\theta^{1+\beta} u_\theta}{\int f_\theta^{1+\beta}} = \frac{\int f_\theta^B g^A u_\theta}{\int f_\theta^B g^A}$ が得られ、ここで $u_\theta$ はスコア関数である。
• LSD フレームワークを、パラメトリック推定および仮説検定の両方の文脈に適用し、経験的尤度型統計量を用いる。
• 汚染されたデータ（例：90% Poisson(2) + 10% Poisson(15)）を用いたシミュレーションスタディにより、ロバスト性および実験的パワーを評価する。
• 崩壊点および影響関数の挙動を分析し、特に位置モデルにおいて一次の影響関数がロバスト性を正しく予測できないことを強調する。
• 異なる $\beta$ および $\gamma$ 値における LSD の性能を比較し、ロバスト性およびパワーに優れるパラメータ領域を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LPD および LDPD の両方を特別ケースとして含む新しい発散家族を構築可能か？
• RQ2 一次の影響関数が予測するのとは対照的に、汚染下における LSD を用いた最小距離推定器の性能はいかがなものか？
• RQ3 汚染下における LSD の仮説検定における実験的性能は何か？また、$\beta$ および $\gamma$ に依存してどのように変化するか？
• RQ4 有限標本において、ロバスト性と統計的パワーを最適化する特定の $\beta$ および $\gamma$ 値は存在するか？
• RQ5 LSD を用いた推論において、一次の影響関数がロバスト性の予測にどれほど失敗するか？

主な発見

• LSD 家族は LPD および LDPD を一般化しており、$\beta=0$ のとき LPD が回復され、$\gamma=0$ のとき LDPD が得られる。
• 標本サイズ $n=100$ の場合、$H_0: \theta=3$ 対 $H_1: \theta=2$ の下で、$\beta=0.5$、$\gamma=0.7$ の組合せで、10% の汚染下でも実験的パワーが100%に達する。
• 標本サイズ $n=50$ の場合、$\beta=0.7$、$\gamma=-0.9$ の組合せで、実験的パワーが98.9%に達し、汚染下でも高い検出能力を示す。
• 標本サイズ $n=20$ の場合、$\beta=0.1$、$\gamma=-0.9$ の組合せで、低標本サイズおよび10%の汚染下でもパワーが99.7%に達するなど、高いパワーを維持する。
• シミュレーションにより、一次の影響関数が位置モデルにおいてロバスト性を正しく予測できないことが示された。高影響度の点であっても、LSD 推定器の性能が著しく低下しない。
• $\beta \in [0.5, 1.5]$ および $\gamma \in [-0.7, -0.3]$ の領域では、複数のシナリオにおいて一貫して優れた性能を示し、実験的パワーが98%を超える。