[論文レビュー] The long-time behaviour of a stochastic SIR epidemic model with distributed delay and multidimensional Lévy jumps

Driss Kiouach, Yassine Sabbar|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 59被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、分布遅れと多次元的 Lévy 跳躍を組み込んだ確率的 SIR 疫病モデルを提案し、長期的な疾患動態を分析する。伊藤＝レヴィ確率的微分方程式と高度な解析技術を用いて、疫病の絶滅および平均的持続に関する十分条件を確立し、Lévy 跳躍の強度とノイズレベルが、疾患が時間とともに消滅するか持続するかを決定づけることを示している。

ABSTRACT

Recently, emerging epidemics like COVID-19 and its variants require predictive mathematical models to implement suitable responses in order to limit their negative and profound impact on society. The SIR (Susceptible-InfectedRemoved) system is a straightforward mathematical formulation to model the dissemination of many infectious diseases. The present paper reports novel theoretical and analytical results for a perturbed version of an SIR model with Gamma-distributed delay. Notably, our epidemic model is represented by Itô-L'evy stochastic differential equations in order to simulate sudden and unexpected external phenomena. By using some new and ameliorated mathematical approaches, we study the long-run characteristics of the perturbed delayed model. Within this scope, we give sufficient conditions for two interesting asymptotic proprieties: extinction and persistence of the epidemic. One of the most interesting results is that the dynamics of the stochastic model are closely related to the intensities of white noises and L'evy jumps, which can give us a good insight into the evolution of the epidemic in some unexpected situations. Our work complements the results of some previous investigations and provides a new approach to predict and analyze the dynamic behavior of epidemics with distributed delay. For illustrative purposes, numerical examples are presented for checking the theoretical study

研究の動機と目的

• 生物的ばらつきと急激な環境ショックを反映させるために、分布遅れと Lévy 跳躍を組み込んだ、より現実的な疫病モデルの構築を目的とする。
• 確率的要因の下での摂動を加えた SIR モデルの長期的挙動、特に絶滅と持続に焦点を当て、その挙動を調査することを目的とする。
• 従来の決定論的および拡散に基づくモデルを拡張し、Lévy 跳躍を含めることで、疾病伝搬における稀だが大きな影響を持つ出来事（イベント）をよりよく捉えることを目的とする。
• 未知の定常分布に依存しない新たな解析的手法を提供し、結果の頑健性と最適性を向上させることを目的とする。
• ノイズ強度と跳躍特性が疫病の結果に与える影響を実用的洞察として提供し、公衆衛生意思決定を支援することを目的とする。

提案手法

• ガンマ分布遅れを有する SIR モデルを、線形チェーン技術を用いて、補助変数 $\mathcal{D}(t)$ を導入することで、等価なシステムに変換する。
• ガウス白色ノイズと Lévy 跳躍を組み込んだ伊藤＝レヴィ確率的微分方程式を用いて、急激で大振幅の摂動をモデル化する。
• 時間平均を用いたプロセス $\psi(s)$ 及びその二乗の解析に、時間平均を用いる新しい数学的技法を適用し、明示的な定常分布を必要とせずに漸近的挙動を分析する。
• 解析において、$\ln(1+x) - x \leq 0$（$x > -1$）の不等式を非削除形で用いることで、よりタイトな境界と改善された推定値を得る。
• 絶滅および持続の基準における解析的境界の最適性と精度を向上させるために、新たな表現 $\chi_{1,p}$ を導入する。
• 特定のパラメータセットを用いた数値シミュレーションを実施し、理論的結果の妥当性を検証するとともに、Lévy 跳躍が疾病動態に与える影響を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布遅れと Lévy 跳躍を有する確率的 SIR モデルが、どのような条件下で疾患の絶滅を示すか？
• RQ2 Lévy 跳躍と白色ノイズが存在する中で、感染群の平均的持続のための十分条件は何か？
• RQ3 白色ノイズと Lévy 跳躍の強度は、疫病の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 Lévy 跳躍が、拡散のみで駆動されるモデルや決定論的システムと比較して、漸近的動的挙動にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 この解析フレームワークは、Lévy ノイズを有する他の確率的疫病モデルに一般化可能か？

主な発見

• ノイズ強度と Lévy 跳躍強度が感染率および回復率に対して十分に大きい場合には、疫病はほとんど確実に絶滅する。
• ノイズおよび跳躍強度が小さく、持続的な感染伝播が可能である場合には、平均的持続が成立する。この閾値はモデルパラメータに依存する。
• 数値的シミュレーションにより、Lévy 跳躍が、決定論的モデルや拡散摂動モデルが持続を予測する場合でさえ、システムを絶滅へと導くことが示された。
• Lévy 跳躍の強度は、疾患の有病率に顕著な負の影響を及ぼし、稀だが極端な出来事が疫病の抑制に寄与することを示している。
• 本手法は、プロセス $\psi$ の明示的定常分布 $\pi^\star(\cdot)$ を必要としないため、より頑健で一般化可能な結果を得ることが可能である。
• Lévy 跳躍を有するモデルは、特に持続条件下において、拡散のみのモデルと比較して、感染群の経路に顕著な変動性を示す。