[論文レビュー] The Lower Bound Error for polynomial NARMAX using an Arbitrary Number of Natural Interval Extensions

Priscila F. S. Guedes, Márcia L. C. Peixoto+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Chaos control and synchronization参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、k個の異なる自然区間拡張から得られるk個の擬似軌道を比較することにより、多項式NARMAXモデルにおける下界誤差を推定する新規手法を提案する。この手法は再帰的関数伝搬とリャプノフ指数の検証を活用しており、誤差推定の精度を向上させ、シンマップ（リャプノフ指数 ≈1.15 ビット/s）およびダッフィング＝ウエダ振動子（≈0.1202）において、文献値と強い一致を示し、カオス的システムのシミュレーションにおける信頼性を確認する。

ABSTRACT

The polynomial NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous input) is a model that represents the dynamics of physical systems. This polynomial contains information from the past of the inputs and outputs of the process, that is, it is a recursive model. In digital computers this generates the propagation of the rounding error. Our procedure is based on the estimation of the maximum value of the lower bound error considering an arbitrary number of pseudo-orbits produced from different natural interval extensions, and a posterior Lyapunov exponent calculation. We applied successfully our technique for two identified models of the systems: sine map and Duffing-Ueda oscillator

研究の動機と目的

• デジタル計算における丸め誤差を含む、多項式NARMAXシミュレーションにおける誤差伝搬解析の不足に対処すること。
• 従来の2つの擬似軌道のみを用いた下界誤差推定手法を、任意の数の区間拡張に拡張すること。
• 最小限の誤差増大量を定量化することにより、非線形動的システムの数値的シミュレーションの信頼性を向上させること。
• 文献値と比較可能な、シンマップおよびダッフィング＝ウエダ振動子といった代表的なカオス的システムを用いて、提案手法の妥当性を検証すること。
• k個の擬似軌道間の最大距離が、2点間比較に比べてより厳密で正確な下界誤差推定値を提供することを示すこと。

提案手法

• 同一の多項式NARMAX関数に対してk個の異なる自然区間拡張を用い、k個の擬似軌道を生成する。数学的同等性を保ちつつ、算術演算の順序が異なる。
• 各擬似軌道は区間算術を用いて計算され、両システムの初期条件はX₀ = 0.1に設定される。
• 各時刻におけるk個の擬似軌道間の最大対比較距離を計算し、下界誤差推定の根拠とする。
• k個の擬似軌道間の最大距離が、任意の2つの擬似軌道から導かれる下界誤差を上回ることを示す定理を証明する。これにより誤差推定が厳しくなる。
• 文献値との比較が可能なように、最大下界誤差軌道のリャプノフ指数を[6]の手法により計算する。
• 提案手法は、シンマップとダッフィング＝ウエダ振動子という2つのベンチマークシステムに適用され、既知の力学的パラメータと照合される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k個の異なる自然区間拡張から得られるk個の擬似軌道を用いることで、従来の2擬似軌道法に比べ、多項式NARMAXモデルにおけるより正確で厳密な下界誤差推定が可能になるか？
• RQ2 k個の擬似軌道間の最大距離は、再帰的数値シミュレーションにおける真の下界誤差とどのように関係するか？
• RQ3 提案手法は、区間算術による誤差伝搬下でも、カオス的システムの動的特性（例：リャプノフ指数）を保持できるか？
• RQ4 区間拡張の数を増やすことで、多項式NARMAXモデルにおける誤差推定の信頼性はどの程度向上するか？
• RQ5 本手法は、シンマップやダッフィング＝ウエダ振動子といった代表的なカオス的システムに成功裏に適用可能であり、既存の文献値と整合性を示すか？

主な発見

• シンマップでは、提案手法を用いて算出したリャプノフ指数は約1.15 ビット/sであり、文献値の1.15 ビット/sとよく一致した。
• ダッフィング＝ウエダ振動子では、計算されたリャプノフ指数は0.1202であり、文献値の0.115と強い一致を示した。
• k個の擬似軌道間の最大距離が、2点間比較に比べてより妥当で厳密な下界誤差推定値であることが、下界誤差定理の理論的拡張により証明された。
• 数値誤差伝搬が生じても、両システムのカオス的ダイナミクスを適切に捉えたため、本手法の頑健性が確認された。
• 複数の区間拡張を用いることで、計算複雑度を著しく増加させることなく誤差推定の精度が向上した。本手法はkに対して効率的にスケーリングする。
• 結果から、提案されたk擬似軌道アプローチが、カオス的領域における多項式NARMAXモデルのフリー走行シミュレーションの信頼性を向上させることを確認した。