[論文レビュー] The Lower Bounds for Eigenvalues of Elliptic Operators --By Nonconforming Finite Element Methods

Jun Hu, Yunqing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 53被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、対称な楕円型作用素の固有値に対する下界を生成するための、非適合有限要素法を用いた体系的な手法を提案する。主な洞察は、非適合有限要素空間の局所的近似性がその全体的な連続性を上回る場合、得られる離散固有値は下界であることが保証され、既知の要素および新規に構築された要素に対して、その十分条件が特定され、検証されている。

ABSTRACT

The aim of the paper is to introduce a new systematic method that can produce lower bounds for eigenvalues. The main idea is to use nonconforming finite element methods. The general conclusion herein is that if local approximation properties of nonconforming finite element spaces $V_h$ are better than global continuity properties of $V_h$, corresponding methods will produce lower bounds for eigenvalues. More precisely, under three conditions on continuity and approximation properties of nonconforming finite element spaces we first show abstract error estimates of approximate eigenvalues and eigenfunctions. Subsequently, we propose one more condition and prove that it is sufficient to guarantee nonconforming finite element methods to produce lower bounds for eigenvalues of symmetric elliptic operators. As one application, we show that this condition hold for most nonconforming elements in literature. As another important application, this condition provides a guidance to modify known nonconforming elements in literature and to propose new nonconforming elements. In fact, we enrich locally the Crouzeix-Raviart element such that the new element satisfies the condition; we propose a new nonconforming element for second order elliptic operators and prove that it will yield lower bounds for eigenvalues. Finally, we prove the saturation condition for most nonconforming elements.

研究の動機と目的

• 対称楕円型作用素の固有値に対する下界を体系的に計算するためのアプローチを開発すること。
• 適合有限要素法が常に上界を与えるのに対し、非適合有限要素法が下界を与える条件を特定すること。
• 一部の非適合要素が固有値の下界を生じるが、他の要素はそうでないという観察された数値的現象の理論的基盤を提供すること。
• 局所的近似性が全体的連続性を上回ることを保証することで、下界を保証する新しい非適合要素の構築を支援すること。
• 大多数の非適合要素に対して、固有値誤差の飽和条件を証明し、提案手法の信頼性を裏付けること。

提案手法

• 非適合有限要素空間の近似性および連続性の性質に基づき、離散固有値および固有関数の抽象的誤差推定を確立する。
• 非適合有限要素空間の局所的近似性と全体的連続性のバランスを含む十分条件を導入し、固有値の下界を保証する。
• 射影平均補間作用素を導入し、非適合空間と適合有限要素空間を関連づけることで、バブル関数技術による誤差解析を可能にする。
• 要素界面におけるジャンプおよび境界項を含む補間誤差推定を用い、非適合法における一貫性誤差を評価する。
• Crouzeix-Raviart、Morley、Wilson、および拡張された回転Q1要素といった代表的な非適合要素に対して、十分条件を検証する。
• Crouzeix-Raviart要素を拡張して新たな非適合要素を構築し、その十分条件を満たすようにすることで、固有値の下界を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合有限要素法が、対称楕円型作用素の固有値に対して下界を生成する条件は何か？
• RQ2 類似した近似性を持つにもかかわらず、一部の非適合要素は下界を生じるが、他の要素は上界を生じる理由は何か？
• RQ3 非適合法を用いて下界を予測・保証できる統一的な理論的枠組みを確立できるか？
• RQ4 既存の非適合要素をどのように変更するか、あるいは新しい要素を設計することで、下界の条件を満たせるか？
• RQ5 固有値の下限・上限の方向を決定する要因として、局所的近似性と全体的連続性の役割は何か？

主な発見

• 固有値の下界を保証するための十分条件は、Crouzeix-Raviart、Morley、Wilson、および拡張された回転Q1要素を含む大多数の標準的非適合要素で満たされている。
• Crouzeix-Raviart要素を拡張して構築した新しい非適合要素は、十分条件を満たしており、したがって固有値の下界を保証する。
• 固有値誤差の飽和条件は、大多数の非適合要素に対して成立することが証明され、提案手法の信頼性を裏付けている。
• 本手法は、局所的近似性が全体的連続性を上回る非適合要素は、固有値の下界を生じることを示す体系的設計原理を提供する。
• 理論的解析により、特定の非適合法が下界を生じるという観察された数値的挙動が偶然ではなく、数学的に根拠を持つことが確認された。
• 射影平均補間作用素により、非適合空間と適合空間を結びつけることで、誤差推定が効果的に可能となり、主要な推定の証明が可能になった。